Решение Керра

Общая теория относительности

$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,$

Гравитация Математическая формулировка Космология

Фундаментальные принципы Специальная теория относительности · Пространство-время · Принцип эквивалентности · Мировая линия · Псевдориманова геометрия Явления Задача Кеплера в ОТО · Гравитационное линзирование · Гравитационные волны · Увлечение инерциальных систем отсчёта · Расхождение геодезических · Горизонт событий · Гравитационная сингулярность · Чёрная дыра Уравнения Уравнения Эйнштейна · Линеаризованная ОТО · Постньютоновский формализм Развитие теории Параметризованный постньютоновский формализм · Теории типа Калуцы — Клейна · Квантовая гравитация · Альтернативные теории Решения Шварцшильда · Райсснера — Нордстрёма · Керра · Керра — Ньюмена · Гёделя · Казнера · Фридмана — Леметра — Робертсона — Уолкера Приближённые решения: Постньютоновский формализм · Ковариантная теория возмущений · Численная относительность Журналы General Relativity and Gravitation · Classical and Quantum Gravity · Гравитация и космология · Living Reviews in Relativity Известные учёные Эйнштейн · Минковский · Шварцшильд · Леметр · Эддингтон · Фридман · Робертсон · Фок · Керр · Чандрасекар · Пенроуз Хокинг и другие…

См. также: Портал:Физика

Реше́ние Ке́рра — Нью́мена — точное решение уравнений Эйнштейна, описывающее невозмущённую электрически заряженную вращающуюся чёрную дыру без космологического члена. Астрофизическая значимость решения неясна, так как предполагается, что встречающиеся в природе коллапсары не могут быть существенно электрически заряжены.

Форма решения и его свойства

Трёхпараметрическое семейство Керра — Ньюмена — наиболее общее решение, соответствующее конечному состоянию равновесия не возмущаемой внешними полями чёрной дыры (согласно теоремам об «отсутствии волос» для известных физических полей). В координатах Бойера — Линдквиста (Boyer — Lindquist) метрика Керра — Ньюмена даётся выражением:^[1]

$ds^2 = -\left(1-{2\,Mr-Q^2\over\Sigma}\right)\,dt^2-2(2\,Mr-Q^2)a{\sin^2\theta\over\Sigma}\,dt\,d\varphi\,+$

$+\left(r^2+a^2+{(2\,Mr-Q^2)a^2\sin^2\theta\over\Sigma}\right)\sin^2\theta\,{d\varphi^2}+{\Sigma\over\Delta}\,dr^2+{\Sigma\,{d\theta^2}},$

где $\Sigma \equiv r^2 + a^2 \cos^2\theta$; $\Delta \equiv r^2 - 2 Mr + a^2 + Q^2$ и $a \equiv J/M$.

Из этой простой формулы легко вытекает, что горизонт событий находится на радиусе: $r_+ = M + \sqrt{M^2 - Q^2 - a^2}$, и следовательно параметры чёрной дыры не могут быть произвольными: электрический заряд и угловой момент не могут быть больше значений, соответствующих исчезновению горизонта событий. Должны выполняться следующие ограничения:

$a^2 + Q^2 \leqslant M^2$ — это ограничение для ЧД Керра — Ньюмена.

Если эти ограничения нарушатся, горизонт событий исчезнет, и решение вместо чёрной дыры будет описывать так называемую «голую» сингулярность, но такие объекты, согласно распространённым убеждениям, в реальной Вселенной существовать не должны (согласно пока не доказанному, но правдоподобному принципу космической цензуры). Альтернативно, под горизонтом может находиться источник сколлапсировавшей материи, которая закрывает сингулярность, и поэтому внешнее решение Керра или Керра — Ньюмена должно быть непрерывно состыковано с внутренним решением уравнений Эйнштейна с тензором энергии-импульса этой материи. Сингулярность исчезает вместе с ограничением на параметры ЧД решения Керра-Ньюмена.

Ещё в 1970 году В. Израэль рассмотрел источник решения Керра — Ньюмена в виде вращающегося диска, закрывающего этот ход. Это направление было развито К. Лопезом (C. L`opez), показавшим, что керровская сингулярность может быть закрыта вращающейся оболочкой (bubble), и в этом случае ограничение на параметры решения Керра — Ньюмена не действует. Более того, как заметил Б. Картер (1968), решение Керра — Ньюмена обладает таким же гиромагнитным отношением, как у электрона согласно уравнению Дирака. История этого направления для решения Керра — Ньюмена излагается в работе arXiv:0910.5388[hep-th].

Метрику Керра — Ньюмена (и просто Керра, но не Шварцшильда) можно аналитически продолжить через горизонт таким образом, чтобы соединить в чёрной дыре бесконечно много «независимых» пространств. Это могут быть как «другие» вселенные, так и удалённые части нашей Вселенной. В таким образом полученных пространствах есть замкнутые времениподобные кривые: путешественник может, в принципе, попасть в своё прошлое, то есть встретиться с самим собой. Вокруг горизонта событий вращающейся чёрной дыры также существует область, называемая эргосферой, практически эквивалентная эргосфере из решения Керра; находящийся там стационарный наблюдатель обязан вращаться с положительной угловой скоростью (в сторону вращения чёрной дыры).

Координаты Керра — Шильда

Наиболее простое выражение решения Керра и Керра — Ньюмена принимают в форме Керра — Шильда (КШ)^[2], в которой метрика имеет вид

$g_{\mu \nu} =\eta_{\mu \nu} + 2H k_\mu k_\nu$,

где $\eta_{\mu \nu}$ является метрикой вспомогательного пространства Минковского с декартовыми координатами $x= x^\mu (x)= (t,x,y,z)$.

В этой форме $k^\mu (x)$ является векторным полем светоподобных направлений. Часто говорят «нулевых» направлений, поскольку $k_\mu k^\mu = g_{\mu \nu} k^\mu k^\nu =0$. Заметим, что специфическая структура формы метрики КШ гарантирует, что поле $k^\mu (x)$ является также нулевым относительно вспомогательного плоского пространства, то есть $\eta_{\mu \nu} k^\mu k^\nu =0$ .

Функция H имеет вид

$H =\frac {Mr - |Q|^2/2} {r^2+ a^2 \cos^2\theta} ,$

где $r, \theta$ — это сплюснутые сфероидальные координаты Керра, которые определяются соотношением

$x+iy = (r + ia) e^{i\phi} \sin \theta , \ z=r\cos \theta .$

и переходят вдали от ЧД в обычные сферические координаты. В этих координатах компоненты вектора $k_\alpha$ определяются из дифференциальной формы

$k_\alpha dx^\alpha = dr - dt - a \sin ^2 \theta d\phi$

путём сравнения коэффициентов перед дифференциалами. Это один из примеров вычисления с применением очень удобного аппарата внешних форм, который и был использован Керром для получения решения в первой и последующих работах.

В действительности, Керровская угловая координата $\phi$ очень необычна, и простая форма КШ связана с тем, что вся сложность решения скрыта в форме векторного поля $k^\mu (x)$, которое представляет собой вихревой светоподобный поток, образующий так называемую Главную Нулевую Конгруэнцию (ГНК). В декартовых координатах компоненты векторного поля $k_\mu$ определяются формой

$k_\mu dx^\mu = - dt +\frac z r dz + \frac r {r^2 +a^2} (xdx+ydy) - \frac a {r^2 +a^2} (xdy-ydx)$.

В теории КШ для определения этого поля используются также «нулевые» (световые) декартовы координаты

$u=(z-t)/\sqrt {2},\quad v=(z+t)/\sqrt {2},\quad \zeta=(x+iy)/\sqrt {2},\quad \bar\zeta=(x-iy)/\sqrt {2}$,

в которых конгруэнция имеет компоненты, определяемые дифференциальной формой

$k_\mu^{(\pm)} dx^\mu = P^{-1}(du +\bar Y^\pm d\zeta + Y^\pm d\bar\zeta - Y^\pm \bar Y^{(\pm)} dv)$.

Это выражение определяется комплексной функцией $Y (x)$, которая имеет два решения $Y^\pm (x)$, что даёт для векторного поля $k^\mu (x)$ две различные конгруэнции (ГНК). Таким образом, решение для вращающихся ЧД может быть записано в двух различных формах, которые базируются на «входящей в» ЧД или «исходящей из» ЧД конгруэнции, что соответствует так называемым алгебраически специальным решениям типа D (по классификации Петрова).

Представление в форме КШ обладает рядом преимуществ, так как конгруэнция, все координаты и форма решений для электромагнитного (ЭМ) поля и метрики оказываются жёстко связанными с координатами вспомогательного плоского пространства и не зависят от положения горизонта и границы эргосферы. Более того, решения КШ однозначно продолжаются аналитически через горизонт внутрь ЧД и далее на «отрицательный» лист — область отрицательных значений сплюснутой радиальной координаты $r$.

В координатах Керра $\theta , \phi$ функция $Y (x)$ имеет вид

$Y(x) = e^{i\phi} \tan \frac \theta 2$ .

Геометрически, она представляет собой проекцию небесной сферы с координатами $\theta , \phi$ на комплексную плоскость $Y$ , однако зависимость $x \to Y(x)$ очень нетривиальна и задаётся тесно связанной с твисторами теоремой Керра. Фактически, ГНК формирует костяк решения Керра как вихрь твисторных лучей. Функция $P$ для покоящегося решения имеет вид

$P = \frac 1 {\sqrt 2} (1+ Y \bar Y )$.

Подобно форме метрики КШ, все тензорные характеристики решения должны быть согласованными с векторным полем ГНК, и в частности, вектор-потенциал ЭМ поля решения Керра — Ньюмена выражается в виде

$A^\mu = \Re e \frac {Q r}{r^2 + a^2 \cos ^2 \theta} k^\mu$.

Керровская сингулярность находится под горизонтом. Она связана с сингулярностью функции H и соответствует значениям $r = 0$ и одновременно $\theta = 0$. Она представляет собой кольцо, открывающее проход к отрицательному листу геометрии Керра, $r < 0$, на котором значения массы и заряда, а также направления полей меняются на обратные. (Не путайте с максимальным аналитическим расширением решений через горизонт ЧД, описанным несколько ниже.) Этот второй лист («Алисово зазеркалье») долгое время был загадкой решения Керра.

Литература

• Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация. — Мир, 1977. — Т. 3. — 512 с.

Литература

Мизнер, Торн, Уилер. Гравитация. Чандрасекар. Математическая теория черных дыр.

Примечания

1. ↑ Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация, Т. 3, 1977, Дополнение 33.2. ГЕОМЕТРИЯ КЕРРА — НЬЮМАНА И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ, c. 88.
2. ↑ Debney G. C., Kerr R. P. and Schild A. Solutions of the Einstein and Einstein-Maxwell Equations (англ.) // Journal of Mathematical Physics. — 1969. — Т. 10. — С. 1842—1854. — DOI:10.1063/1.1664769

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставить для статьи более точные категории. Викифицировать список литературы, используя шаблон {{книга}}, и проставить ISBN.