Равновесие по Нэшу

В теории игр равновесием Нэша (названным в честь Джона Форбса Нэша, который предложил его) называется тип решений игры двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив своё решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения. Такая совокупность стратегий выбранных участниками и их выигрыши называются равновесием Нэша.

Концепция равновесия Нэша (РН) впервые использована не Нэшем; Антуан Огюст Курно показал, как найти то, что мы называем равновесием Нэша, в игре Курно. Соответственно, некоторые авторы называют его равновесием Нэша-Курно. Однако Нэш первым показал в своей диссертации Некооперативные игры (1950), что равновесия Нэша должны существовать для всех конечных игр с любым числом игроков. До Нэша это было доказано только для игр с 2 участниками с нулевой суммой Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном (1947).

Формальное определение

Допустим, $\ (S, f)$ — игра n лиц в нормальной форме, где $\ S$— набор чистых стратегий, а $\ f$— набор выигрышей. Когда каждый игрок $i \in \{1, ..., n\}$ выбирает стратегию $x_i \in S$ в профиле стратегий $\ x = (x_1, ..., x_n)$, игрок $\ i$ получает выигрыш $\ f_i(x)$. Заметьте, что выигрыш зависит от всего профиля стратегий: не только от стратегии, выбранной самим игроком $\ i$, но и от чужих стратегий. Профиль стратегий $x^* \in S$ является равновесием по Нэшу, если изменение своей стратегии не выгодно ни одному игроку, то есть для любого $\ i$

$f_i(x^*) \geq f_i(x_i, x^*_{-i}).$

Игра может иметь равновесие Нэша в чистых стратегиях или в смешанных (то есть при выборе чистой стратегии стохастически с фиксированной частотой). Нэш доказал, что если разрешить смешанные стратегии, тогда в каждой игре n игроков будет хотя бы одно равновесие Нэша.

См. также

• Эффективность по Парето
• Парадокс Бертрана