Производные основных элементарных функций

Производные основных элементарных функций

Вычисление производной — важнейшая операция в дифференциальном исчислении. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций.

В этих формулах f и g — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а c — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Содержание

Правила дифференцирования общих функций

\left({cf}\right)' = cf'
\left({f + g}\right)' = f' + g'
\left({f - g}\right)' = f' - g'
\left({fg}\right)' = f'g + fg' (известно как «правило Лейбница»)
\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0
(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\qquad f > 0
(f \circ g)' = (f' \circ g)g' — правило дифференцирования сложной функции
f' = (\ln f)'f, \qquad f > 0

Производные простых функций

{d \over dx} c = 0
{d \over dx} x = 1
{d \over dx} cx = c
{d \over dx} |x| = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0
{d \over dx} x^c = cx^{c-1},        когда x^c\,\! и cx^{c-1}\,\! определены
{d \over dx} \left({1 \over x}\right) = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}
{d \over dx} \left({1 \over x^c}\right) = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}
{d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0
{d \over dx} \sqrt [n] {x} = {d \over dx} x^{1\over n} = {1 \over n} x^{-{n-1\over n}} = \frac {1} {n \cdot \sqrt [n] {x^{n-1}}}

Производные экспоненциальных и логарифмических функций

{d \over dx} c^x = {c^x \ln c},\qquad c > 0
{d \over dx} e^x = e^x
{d \over dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}
{d \over dx} \log_c |x| = {1 \over x \ln c},\qquad c > 0, c \ne 1
{d \over dx} \ln x = {1 \over x}
{d \over dx} x^x = x^x(1+\ln x)

Производные тригонометрических функций

{d \over dx} \sin x = \cos x
{d \over dx} \cos x  = -\sin x
{d \over dx}\,\operatorname{tg}\,x = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x}
{d \over dx}\,\operatorname{ctg}\,x = -\,\operatorname{cosec}^2\,x = { -1 \over \sin^2 x}
{d \over dx} \sec x =\,\operatorname{tg}\,x \sec x
{d \over dx} \,\operatorname{cosec}\,x = -\,\operatorname{ctg}\,x \,\operatorname{cosec}\,x
{d \over dx} \arcsin x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}
{d \over dx} \arccos x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}
{d \over dx} \,\operatorname{arctg}\,x = { 1 \over 1 + x^2}
{d \over dx} \arcsec x = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
{d \over dx} \,\operatorname{arcctg}\,x = {-1 \over 1 + x^2}
{d \over dx} \,\operatorname{arccosec}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}

Производные гиперболических функций

{d \over dx}\,\operatorname{sh}\,x = \,\operatorname{ch}\,x
{d \over dx}\,\operatorname{ch}\,x = \,\operatorname{sh}\,x
{d \over dx}\,\operatorname{th}\,x = \,\operatorname{sech}^2\,x
{d \over dx}\,\operatorname{sech}\,x = - \operatorname{th} x\,\operatorname{sech}\,x
{d \over dx}\,\operatorname{cth}\,x = -\,\operatorname{csch}^2\,x
{d \over dx}\,\operatorname{csch}\,x = -\,\operatorname{cth}\,x\,\operatorname{csch}\,x
{d \over dx}\,\operatorname{arsh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}
{d \over dx}\,\operatorname{arch}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}
{d \over dx}\,\operatorname{arth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}
{d \over dx}\,\operatorname{arsech}\,x = { 1 \over x\sqrt{1 - x^2}}
{d \over dx}\,\operatorname{arcth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}
{d \over dx}\,\operatorname{arcsch}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Производные основных элементарных функций" в других словарях:

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в к ром изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Развитие Д. и. тесно связано с развитием интегрального исчисления. Неразрывно и их содержание. Вместе они составляют основу… …   Математическая энциклопедия

  • ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в к ром изучаются понятия интеграла, его свойства и методы вычислений. И. и. непрерывно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним основу математич. анализа. Истоки И. и. относятся к античному периоду… …   Математическая энциклопедия

  • ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, обратная к показательной функции. Л. ф. обозначается ее значение у, соответствующее значению аргумента х, наз. натуральным логарифмом числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно Так как при любом действительном у, то Л. ф.… …   Математическая энциклопедия

  • Медицина — I Медицина Медицина система научных знаний и практической деятельности, целями которой являются укрепление и сохранение здоровья, продление жизни людей, предупреждение и лечение болезней человека. Для выполнения этих задач М. изучает строение и… …   Медицинская энциклопедия

  • Дифференциальное исчисление —         раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 …   Большая советская энциклопедия

  • Тригонометрические функции —         один из важнейших классов элементарных функций.          Для определения Т. ф. обычно рассматривают окружность единичного радиуса с двумя взаимно перпендикулярными диаметрами A A и B B (рис. 1). От точки А по окружности откладываются дуги …   Большая советская энциклопедия

  • СССР. Естественные науки —         Математика          Научные исследования в области математики начали проводиться в России с 18 в., когда членами Петербургской АН стали Л. Эйлер, Д. Бернулли и другие западноевропейские учёные. По замыслу Петра I академики иностранцы… …   Большая советская энциклопедия

  • НАУКА — особый вид познавательной деятельности, направленный на выработку объективных, системно организованных и обоснованных знаний о мире. Взаимодействует с др. видами познавательной деятельности: обыденным, художественным, религиозным, мифологическим …   Философская энциклопедия

  • ГРИНА ФУНКЦИЯ — функция, связанная с интегральным представлением решений краевых задач для дифференциальных уравнений. Г. ф. краевой задачи для линейного дифференциального уравнения фундаментальное решение уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям.… …   Математическая энциклопедия

  • ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ — занимается изучением событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о разумности ожидания наступления одних событий по сравнению с другими, хотя приписывание численных значений вероятностям событий часто бывает излишним… …   Энциклопедия Кольера


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»