Присоединённое представление лиевой алгебры

Присоединённое представление алгебры Ли $\mathfrak g$ называется линейное представление $\operatorname{ad}$ алгебры $\mathfrak g$ в модуле $\mathfrak g$, действующее по формуле

$\operatorname{ad}_xy = [x, y],\ \ x,y\in\mathfrak g,$

где $[ \cdot,\cdot ]$ ― операция в алгебре $\mathfrak g$.

Свойства

• Ядро $\ker\operatorname{ad}$ есть центр алгебры Ли $\mathfrak g$.
• Присоединённые операторы $\operatorname{ad}_x$ являются дифференцированиями алгебры $\mathfrak g$ и называются внутренними дифференцированиями.
• Образ $\operatorname{ad}$, называется присоединённой алгеброй и является идеалом в алгебре Ли $\operatorname{Der}\,\mathfrak g$ всех дифференцирований алгебры $\mathfrak g$, причём $\operatorname{Der}\,\mathfrak g/\operatorname{ad}\,\mathfrak g$ есть пространство $H^1(\mathfrak g,\mathfrak g)$ 1-мерных когомологий алгебры Ли $\mathfrak g$, определяемых присоединённым представлением.
  • В частности, $\operatorname{Der}\,\mathfrak g=\operatorname{ad}\,\mathfrak g$, если $\mathfrak g$ ― полупростая алгебра Ли над полем характеристики 0.

Литература

• Джекобсон Н. Алгебры Ли, — М., 1964;
• Понтрягин Л. С. Непрерывные группы, — 3 изд. — М., 1973;
• Серр Ж. — П. Алгебры Ли и группы Ли, пер. е англ. и франц., М., 19В9;
• Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980.

См. также

• Присоединённое представление группы Ли