Правило Крамера

Метод Крамера (Крамера правило) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Создан Габриэлем Крамером в 1750 году.

Описание метода

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n = b_n\\ \end{cases}$

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

$x_i=\frac{1}{\Delta}\begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & \ldots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n-1,1} & \ldots & a_{n-1,i-1} & b_{n-1} & a_{n-1,i+1} & \ldots & a_{n-1,n} \\ a_{n1} & \ldots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \ldots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}$

(i-й столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

$(c_1x_1+c_2x_2+\dots+c_nx_n)\cdot\Delta = -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} & b_n\\ c_{1} & c_{2} & \ldots & c_{n} & 0\\ \end{vmatrix}$

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b₁,b₂,...,b_n и x₁,x₂,...,x_n, либо набор c₁,c₂,...,c_n состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Пример

Система линейных уравнений:

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2\\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3\\ \end{cases}$

Определители:

$\Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix},\ \ \Delta_1=\begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix},\ \ \Delta_2=\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \\ \end{vmatrix},\ \ \Delta_3=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \\ \end{vmatrix}$

Решение:

$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta},\ \ x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta},\ \ x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}$

Пример:

$\begin{cases} 2x_1 + 5x_2 + 4x_3 = 30\\ x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 150\\ 2x_1 + 10x_2 + 9x_3 = 110\\ \end{cases}$

Определители:

$\Delta_1=\begin{vmatrix}30&5&4\\150&3&2\\ 110 & 10 & 9 \\ \end{vmatrix}=-760,\ \ \Delta_2=\begin{vmatrix} 2 & 30 & 4 \\ 1 & 150 & 2 \\ 2 & 110 & 9 \\ \end{vmatrix}$

$x_1=-\frac{760}{5}=-152,\ \ x_2=\frac{1350}{5}=270,\ \ x_3=-\frac{1270}{5}=-254$

Примечания

Из-за высокой вычислительной сложности метода — требуется вычисление n + 1 определителя размерности $n\times n$, он не применяется для машинного решения больших СЛАУ. Однако он иногда используется при ручном счёте и в теоретических выкладках. Α−Β+2γ−Δ=−4 2Α+2Β-4γ-Δ=10 Α-2Β-4γ=7 Α+3Β-2γ-2Δ=1

Ссылки

• Решение системы линейных уравнений методом Крамера онлайн