Пифагорейцы

Пифагореизм — религиозно-философское учение в Древней Греции VI—IV вв. до н. э.

История пифагорейского союза

Пифагор Самосский (римская копия).

Основателем союза был Пифагор, сын Мнесарха, уроженец Самоса. Его расцвет приходится на время правления тирана Поликрата (ок. 530 г.). Пифагор основал сообщество в италийском городе Кротоне. Умер он в Метапонте, куда переселился вследствие враждебного отношения кротонцев к его союзу.

После смерти Пифагора вражда против пифагорейского союза усиливалась во всех демократиях Великой Греции и в середине V в. разразилась катастрофой: в Кротоне многие пифагорейцы были убиты и сожжены в доме, где они собрались; разгром повторился и в других местах. Уцелевшие были вынуждены бежать, разнося с собой учение и мистерии своего союза. Эти мистерии дали союзу возможность существовать и тогда, когда он утратил своё прежнее политическое и философское значение. К концу V в. наблюдается возрождение политического влияния пифагорейцев в Великой Греции: Архит Тарентский достигает большого политического значения в Таренте как военачальник и государственный деятель. С IV в. пифагорейство приходит в упадок, а его учение поглощается платонизмом.

Сам Пифагор, по преданию, не оставил письменного изложения своего учения, и Филолай считается первым писателем, давшим изложение пифагорейской доктрины. Учение ранних пифагорейцев известно нам по свидетельствам Платона и Аристотеля, а также по немногим фрагментам Филолая, которые признаются подлинными. При таких условиях трудно с достоверностью отделить первоначальное существо пифагорейского учения от позднейших наслоений.

Пифагорейский союз как религиозная община

Фёдор Бронников. Гимн пифагорейцев солнцу

Есть основание видеть в Пифагоре учредителя мистического союза, научившего своих последователей новым очистительным обрядам. Обряды эти были связаны с учением о переселении душ, которое можно приписывать Пифагору на основании свидетельств Геродота и Ксенофана; оно встречается также у Парменида, Эмпедокла и Пиндара, находившихся под влиянием пифагорейства.

Дало ли пифагорейство освобождение от этого «круговорота рождения» хотя бы душе философа? Золотые таблички IV в., найденные в могилах близ Турий — местности, служившей некогда пристанищем для пифагорейцев — свидетельствуют о возможности такого освобождения.

Ряд причудливых предписаний и запретов пифагорейцев восходят, несомненно, к глубокой древности. Из этих запретов более всего стал известен запрет употреблять в пищу бобы, из-за которых, по одному из преданий, погиб и сам Пифагор. Причина этого запрета была неизвестна уже в древности.

Пифагорейцы были известны в античности также своим вегетарианством, связанным с учением о переселении душ.

Согласно традиции, последователи Пифагора делились на акусматиков («слушателей») и математиков («учеников»). Акусматики имели дело с религиозными и ритуальными сторонами учения, математики — с исследованиями четырёх пифагорейских «матем»: арифметики, геометрии, гармоники и сферики. Акусматики не считали математиков «настоящими пифагорейцами», но говорили, что они ведут своё начало от Гиппия, изменившего исходной пифагорейской традиции, раскрывшего тайны непосвящённым и начавшим преподавание за плату.

Философия пифагорейцев

Пифагор был первым мыслителем, который по преданию назвал себя философом, то есть «любителем мудрости». Он же впервые назвал вселенную космосом, то есть «прекрасным порядком». Предметом его учения был мир как стройное целое, подчиненное законам гармонии и числа.

Основу последующего философского учения пифагорейцев составила категориальная пара двух противоположностей — предела и беспредельного. «Беспредельное» не может быть единым началом вещей; иначе ничто определённое, никакой «предел» не был бы мыслим. С другой стороны, и «предел» предполагает нечто такое, что определяется им. Отсюда вывод, что «природа, сущая в космосе, гармонически слажена из беспредельных и определяющих; так устроен и весь космос, и все, что в нём» (слова Филолая). Как согласуются эти противоположные начала? Это тайна, доступная вполне лишь божественному разуму; но ясно, что они должны согласоваться, что должна быть гармония, связывающая их, иначе мир распался бы.

Были пифагорейцы, ограничивавшиеся этим общим положением; другие составили таблицу 10 противоположностей — категорий, под которые подводилось всё сущее. Аристотель приводит эту таблицу в своей «Метафизике» (I,5):

• предел — беспредельное
• нечётное — чётное
• одно — многое
• правое — левое
• мужское — женское
• покой — движение
• прямое — кривое
• свет — тьма
• добро — зло
• квадрат — вытянутый прямоугольник

Мировая гармония, в которой заключается закон мироздания, есть единство во множестве и множество в единстве — έν καί πολλά. Как мыслить эту истину? Непосредственным ответом на это является число: в нём объединяется множество, оно есть начало всякой меры. Опыты над монохордом показывают, что число есть принцип звуковой гармонии, которая определяется математическими законами. Не есть ли звуковая гармония частный случай всеобщей гармонии, как бы её музыкальное выражение? Астрономические наблюдения показывают нам, что небесные явления, с которыми связаны все главнейшие изменения земной жизни, наступают с математической правильностью, повторяясь в точно определённые циклы.

«Так называемые пифагорейцы, взявшись за математические науки, первые подвинули их вперёд; вскормленные на этих науках, они признали математические начала за начала всего существующего. Из таких начал, естественно, первыми являются числа. В числах усматривали они множество аналогий или подобий с вещами… так что одно свойство чисел являлось им как справедливость, другое — как душа или разум, ещё другое — как благоприятный случай и т. д. Далее они наводили в числах свойства и отношения музыкальной гармонии, и так как все прочие вещи по своей природе являлись им подобием чисел, числа же — первыми из всей природы, то они и признали, что элементы числа суть элементы всего сущего, и что все небо есть гармония и число» (Аристотель, Met., I, 5).

Таким образом, пифагорейские числа имеют не простое количественное значение: если для нас число есть определённая сумма единиц, то для пифагорейцев оно есть, скорее, та сила, которая суммирует данные единицы в определённое целое и сообщает ему определённые свойства. Единица есть причина единения, два — причина раздвоения, разделения, четыре — корень и источник всего числа (1 + 2 + 3 + 4 = 10). В основании учения о числе усматривалась, по-видимому, коренная противоположность чётного и нечётного: чётные числа суть кратные двух, и потому «чёт» есть начало делимости, раздвоения, разлада; «нечёт» знаменует противоположные свойства. Отсюда понятно, что числа могут обладать и нравственными силами: 4 и 7, например, как средние пропорциональные между 1 и 10, являются числами, или началами, пропорциональности, а след., и гармонии, здоровья, разумности.

Пифагорейская космология и астрономия

В космологии пифагорейцев мы встречаемся с теми же двумя основными началами предела и беспредельности. Мир есть ограниченная сфера, носящаяся в беспредельности. «Первоначальное единство, возникнув неведомо из чего, — говорит Аристотель, — втягивает в себя ближайшие части беспредельности, ограничивая их силой предела. Вдыхая в себя части беспредельного, единое образует в себе самом определённое пустое место или определённые промежутки, раздробляющие первоначальное единство на отдельные части — протяженные единицы (ὡς όντος χωρισμοϋ τινος τών ἐφεξής)». Это воззрение — несомненно первоначальное, так как уже Парменид и Зенон полемизируют против него. Вдыхая беспредельную пустоту, центральное единство рождает из себя ряд небесных сфер и приводит их в движение. По Филолаю, «мир един и начал образовываться от центра».

В центре мира находится огонь, отделяемый рядом пустых интервалов и промежуточных сфер от крайней сферы, объёмлющей вселенную и состоящей из того же огня. Центральный огонь, очаг вселенной, есть Гестия, мать богов, мать вселенной и связь мира; верхняя часть мира между звездной твердью и периферическим огнём называется Олимпом; под ним идёт космос планет, солнца и луны. Вокруг центра «ведут хороводы 10 божественных тел: небо неподвижных звёзд, пять планет, за ними Солнце, под Солнцем — Луна, под Луной — Земля, а под нею — противоземие (ἀντίχθων)» — особая десятая планета, которую пифагорейцы принимали для круглого счёта, а может быть, и для объяснения солнечных затмений. Медленнее всех вращается сфера неподвижных звезд; более быстро и с постоянно возрастающей по мере приближения к центру скоростью — сферы Сатурна, Юпитера, Марса, Венеры и Меркурия.

Планеты вращаются вокруг центрального огня, обращенные к нему всегда одной и той же стороной, отчего жители земли, напр., не видят центрального огня. Наше полушарие воспринимает свет и теплоту центрального огня через посредство солнечного диска, который лишь отражает его лучи, не будучи самостоятельным источником тепла и света.

Своеобразно пифагореское учение о гармонии сфер: прозрачные сферы, к которым прикреплены планеты, разделяются между собой промежутками, которые относятся друг к другу как гармонические интервалы; небесные тела звучат в своём движении, и если мы не различаем их созвучия, то только потому, что оно слышится непрестанно.

Пифагорейская арифметика

Пифагорейцами рассматривались свойства чисел, между которыми главнейшими были чётные, нечётные, чётно-нечётные, квадратные и неквадратные, изучались составлением арифметических прогрессий и происходящих от последовательных суммирований их членов новых числовых рядов. Так, последовательное прибавление числа 2 к нему самому или к единице и к получаемым затем результатам, давало в первом случае ряд чётных чисел, а во втором — ряд нечётных. Последовательные суммирования членов первого ряда, состоящие в прибавлении каждого из них к сумме всех предшествовавших ему членов, давали ряд гетеромекных чисел, представляющих произведение двух множителей, отличающихся один от другого на единицу. Такие же суммирования членов второго ряда давали ряд квадратов последовательных натуральных чисел.

Пифагорейская геометрия

Из геометрических работ пифагорейцев на первом месте стоит знаменитая теорема Пифагора. Доказательство теоремы должно было явиться результатом потребовавших значительного промежутка времени работ как самого Пифагора, так и других математиков его школы, начавшихся на арифметической почве. Член ряда нечётных чисел, всегда являющийся разностью между двумя соответствующими членами ряда квадратных чисел, мог быть сам числом квадратным: 9 = 25 — 16, 25 = 169 — 144, … Содержание пифагоровой теоремы было, таким образом, впервые обнаружено рациональными прямоугольными треугольниками с катетом, выражаемым нечётным числом. Вместе с тем должен был раскрыться и Пифагоров способ образования этих треугольников, или их формула (n — нечетное число, выражающее меньший катет; (n² — 1)/2 — больший катет; (n² — 1)/2 + 1 — гипотенуза).

Вопрос о подобном свойстве также и других прямоугольных треугольников требовал соизмерения их сторон. При этом пифагорейцам впервые приходилось встретиться с несоизмеримыми линиями. До нас не дошло никаких указаний ни на первоначальное общее доказательство, ни на путь, которым оно было найдено. По свидетельству Прокла, это первоначальное доказательство было труднее находящегося в «Началах» Евклида и также основывалось на сравнении площадей.

Пифагорейцы занимались ещё вопросом так называемого «приложения» (παραβάλλειν) площадей, то есть построения на данном отрезке параллелограмма с данным углом при вершине, имеющего данную площадь. Ближайшее развитие этого вопроса состояло в построении на данном отрезке прямой прямоугольника, имеющего данную площадь, под условием, чтобы оставался (ἔλλειψις) или недоставал (ὑπερβολή) квадрат.

Пифагорейцы дали впервые общее доказательство теоремы о равенстве внутренних углов треугольников двум прямым; они были знакомы со свойствами и построением правильных 3-, 4-, 5- и 6-угольников.

В стереометрии предметом занятий пифагорейцев были правильные многогранники. Собственные исследования пифагорейцев прибавили к ним додекаэдр. Занятие способами образования телесных углов многогранников должно было непосредственно привести пифагорейцев к теореме о том, что «плоскость около одной точки наполняется без остатка шестью равносторонними треугольниками, четырьмя квадратами или тремя правильными шестиугольниками, так что становится возможным всякую целую плоскость разложить на фигуры каждого из этих трёх родов».

Пифагорейская гармоника

Рафаэль Санти. Пифагор (деталь Афинской школы). На чёрной доске видно изображение пифагорейской гармонии — системы, в которой октава составляется из квинты и квар-ты.

Все дошедшие до нашего времени сведения о возникновении в древней Греции математического учения о музыкальной гармонии определённо связывают это возникновение с именем Пифагора. Его достижения в этой области кратко перечислены в следующем отрывке из Ксенократа, дошедшем до нас через Порфирия:

«Пифагор, как говорит Ксенократ, открыл и то, что в музыке интервалы неотрывны от числа, так как они возникают от соотнесения количества с количеством. Он исследовал, в результате чего возникают созвучные и разнозвучные интервалы и всё гармоничное и негармоничное».

В области гармоники Пифагором были произведены важные акустические исследования, приведших к открытию закона, состоящего в том, что все консонансные музыкальные интервалы определяются простейшими числовыми отношениями 2/1, 3/2, 4/3. Так, половина струны звучит в октаву, 2/3 — в квинту, 3/4 — в кварту с целой струной. Тем самым структура гармонии задаётся четвёркой взаимно простых чисел 6, 8, 9, 12, где крайние числа образуют между собой октаву, числа, взятые через одно — две квинты, а края с соседями — две кварты.

«Гармония есть система трёх созвучий — кварты, квинты и октавы. Численные пропорции этих трёх созвучий находятся в пределах указанных выше четырёх чисел, то есть в пределах единицы, двух, трёх и четырёх. А именно, созвучие кварты является в виде сверхтретьего отношения, квинты — полуторного и октавы — двойного. Отсюда число четыре, будучи сверхтретьим от трёх, поскольку оно составляется из трёх и его третьей доли, обнимает созвучие кварты. Число три, будучи полуторным от двух, поскольку содержит два и его половину, выражает созвучие квинты. Число же четыре, будучи двойным в отношении двух, и число два, будучи двойным в отношении единицы, определяют созвучие октавы» (Секст Эмпирик, Против логиков, I, 94–97).

Продолжателями акустических исследований, а также представителями возникшего в пифагорейской школе стремления к теоретическому обоснованию музыкальной гармонии были Лас Гермионский и Гиппас Метапонтский, произведшие много опытов как над струнами, имевшими различные длины и натягиваемыми различными тяжестями, так и над сосудами, наполняемыми водой до различных высот.

Пифагорейская гармоническая концепция нашла своё воплощение в идее чистого диатонического строя, настраиваемого по одним лишь консонансным интервалам — октавам и квинтам. Здесь же было сделано открытие, касающееся того факта, что целый тон — разность квинты и кварты — не укладывается в октаве целое число раз: октава равна шести целым тонам с некоторым избытком, так называемой пифагорейской коммой.

Выдающимся музыкальным теоретиком пифагорейской школы был Архит Тарентский, попытавшися подвести математиическую основу и под другие гармонические системы, употреблявшиеся в древнегреческой музыке его времени.

Ссылки

• Пифагореизм
• Бертран Рассел, История западной философии
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Pythagoreanism
• Пифагоровы тройки
• Эдуард Шюре, Великие посвященные
• Ямвлих, О Пифагоровой жизни
• Порфирий, Жизнь Пифагора
• Диоген Лаэртский "О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов"
• Феано, Пифагорово Море

Литература

• Ахутин А. В. Античные начала философии. Спб: Наука, 2007.
• Ахутин А. В. История принципов физического эксперимента от античности до XVII в. М.: Наука, 1976.
• Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука: Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. Пер. И. Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959. (Репр.: М.: УРСС, 2007)
• Герцман Е. В. Пифагорейское музыкознание. Начала древнегреческой науки о музыке. СПб.: Гуманитарная академия, 2003.
• Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. Пер. М. Л. Гаспарова. М.: Мысль, 1986.
• Жмудь Л. Я. Пифагор и его школа (ок. 530 — ок. 430 гг. до н. э.). Л.: Наука, 1990.
• Жмудь Л. Я. Наука, философия и религия в раннем пифагореизме. СПб.: Алетейя, 1994.
• Лосев А. Ф. История античной эстетики. Т. 5: Ранний эллинизм. М.: Искусство, 1979.
• Эберт Т. Сократ как пифагореец и анамнезис в диалоге Платона «Федон». СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 2005.
• Щетников А. И. Пифагорейское учение о числе и величине. Изд-во Новосибирского ун-та, 1997.
• Щетников А. И. Возникновение теоретической математики и пифагорейская сотериология вспоминания. Математическое образование, № 4(35), 2005, с. 17-28.
• Щетников А. И. Пифагорейский алгоритм для вычисления сторонних и диагональных чисел и понятие семенного логоса. Историко-математические исследования, 10(45), 2005, с. 160—173.
• Щетников А. И. Развитие учения о музыкальной гармонии от Пифагора до Архита. В кн. Пифагорейская гармония: исследования и тексты. Новосибирск: АНТ, 2005, с. 25-65.
• Ямвлих. О пифагоровой жизни. Пер. И. Ю. Мельниковой. М.: Алетейя, 2002.
• Янков В. А. Становление доказательства в ранней греческой математике (гипотетическая реконструкция). Историко-математические исследования, 2(37), 1997, с. 200—236.
• Янков В. А. Гиппас и рождение геометрии величин. Историко-математические исследования, 5(40), 2000, с. 192—222.
• Янков В. А. Геометрия последователей Гиппаса. Историко-математические исследования, 6(41), 2001, с. 285—318.
• Bowen A.C. The foundations of early Pythagorean harmonic science: Architas, fragment 1. Ancient Philosophy, 2, 1982, p. 79-104.
• Bowen A.C. Euclid’s Sectio canonis and the history of pythagoreanism. In: Science and philosophy in classical Greece. NY: Garland, 1991, p. 167—187.
• Burkert W. Weisheit und Wissenschaft: Studiern zu Pythagoras, Philolaos und Platon. Nürnberg: Carl, 1962. Английский перевод: Lore and science in ancient pythagoreanism. Cambridge (Mass.), Harvard Univ. Press, 1972.
• Godwin J. The harmony of the spheres: A sourcebook of the Pythagorean tradition in music. Rochester, Inner Traditions Int., 1993.
• Heath T.L. A history of Greek mathematics. 2 vols. Oxford: Clarendon Press, 1921. (Repr.: NY: Dover, 1981)
• Heidel W.A. The Pythagoreans and Greek mathematics. American Journal of Philology, 61, 1940, p. 1-33.
• Huffman C.A. Philolaus of Croton: pythagorean and presocratic. Cambridge UP, 1993.
• Huffman C.A. Archytas of Tarentum: pythagorean, philosopher and mathematician king. Cambridge UP, 2004.
• Kahn C. Pythagoras and the Pythagoreans. Indianapolis: Hackett, 2001.
• Levin F. R. The Harmonics of Nicomachus and the Pythagorean tradition. University Park: American Philological Association, 1975.
• Long H.S. A study of the doctrine of metempsychosis in Greece from Pythagoras to Plato. Princeton: Princeton Univ. Press, 1948.
• O’Meara D.J. Pythagoras revived, mathematics and philosophy in late antiquity. Oxford: Clarendon, 1989.
• Philip J.A. Pythagoras and early Pythaforeanism. Toronto UP, 1966.
• Van der Waerden B.L. Die Pythagoreer: Religiöse Bruderschaft und Schule der Wissenschaft. Zürich, Artemis Verlag, 1979.
• Vogel C. J. Pythagoras and early pythagoreanism. Assen: Van Gorcum, 1966.