- Однородное пространство
-
Однородное пространство — множество
вместе с заданным на нём транзитивным действием некоторой группы
. Элементы множества M называются точками однородного пространства, группа
— группой движений, или основной группой однородного пространства.
Любая точка
однородного пространства
определяет подгруппу
основной группы
. Она называется группой изотропии, или стационарной подгруппой, или стабилизатором точки
. Стабилизаторы разных точек сопряжены в группе
с помощью внутренних автоморфизмов.
С произвольной подгруппой
группы
связано некоторое однородное пространство группы
— множество
левых классов смежности группы
по подгруппе
, на котором
действует по формуле
,
.
Это однородное пространство называется факторпространством группы
по подгруппе
, а подгруппа
оказывается стабилизатором точки
этого пространства (
— единица группы
). Любое однородное пространство
группы
можно отождествить с факторпространством группы
по подгруппе
, являющейся стабилизатором фиксированной точки
.
Если группа
является топологической группой, а
— её подгруппой (в частности если
— группа Ли, а
— замкнутая подгруппа в
), то факторпространство
каноническим образом снабжается структурой топологического пространства (соответственно структурой аналитического многообразия), относительно которой действие группы
на
является непрерывным (соответственно аналитическим). Если группа Ли
транзитивно и аналитически действует на аналитическом многообразии
, то для любой точки
подгруппа
замкнута и указанная выше биекция аналитична; если при этом число связных компонент группы
не более чем счётно, то эта биекция является диффеоморфизмом.
Категории:- Теория групп
- Группы Ли
Wikimedia Foundation. 2010.