Параболическая система координат

Параболические координаты — ортогональная система координат на плоскости, в которой координатные линии являются конфокальными параболами. Трёхмерный вариант этой системы координат получается при вращении парабол вокруг их оси симметрии.

Параболические координаты нашли многочисленные применения в математической физике, в частности, в теории эффекта Штарка и задаче о потенциале вблизи угла.

Двумерные параболические координаты

Двумерные параболические координаты (σ,τ) определяются выражениями

$x = \sigma \tau\,$

$y = \frac{1}{2} \left( \tau^{2} - \sigma^{2} \right)$

Поверхности постоянной σ являются конфокальными параболами

$2y = \frac{x^{2}}{\sigma^{2}} - \sigma^{2}$

расширяющимися вверх (вдоль луча + y), а поверхности постоянной τ — это конфокальные параболы

$2y = -\frac{x^{2}}{\tau^{2}} + \tau^{2}$

расширяющиеся вниз (вдоль луча − y). Фокусы всех парабол расположены в начале коорднат.

Дифференциальные характеристики двумерных координат

Коэффициенты Ламэ для параболических кординат равны

$H_{\sigma} = H_{\tau} = \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}$

Таким образом, элемент площади равен

$dS = \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) d\sigma d\tau$,

а лапласиан равен

$\Delta \Phi = \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left( \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \sigma^{2}} + \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \tau^{2}} \right)$

Прочие дифференциальные операторы могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

Трёхмерные параболические координаты

Координатные поверхности для трёхмерных параболических координат. Красный параболоид соответствует τ=2, синий параболоид соответствует σ=1, а жёлтая полуплоскость соответствует φ=-60°. Три поверхности пересекаются в точке P (отмеченной чёрной сферой), имеющей декартовы координаты приблизительно (1.0, -1.732, 1.5).

На основе двумерных параболических координат строятся два типа трёхмерных координат. Первые получаются простым проектированием на плоскость X Y вдоль оси z и называются цилиндрические параболические координаты.

Вторая система координат, также называемая «параболические координаты», строится на основе параболоидов вращения, получаемых вращением парабол вокруг их оси симметрии

$\ x = \sigma \tau \cos \phi$

$\ y = \sigma \tau \sin \phi$

$\ z = \frac{1}{2} \left(\tau^{2} - \sigma^{2} \right)$

Ось параболоидов совпадает с осью z, так как вокруг неё производится вращение. Азимутальный угол φ определяется как

$\tan \phi = \frac{y}{x}$

Поверхности постоянной σ являются конфокальными параболоидами

$2z = \frac{x^{2} + y^{2}}{\sigma^{2}} - \sigma^{2}$

направленными вверх (вдоль луча + z), а поверхности постоянной τ — это конфокальные параболоиды

$2z = -\frac{x^{2} + y^{2}}{\tau^{2}} + \tau^{2}$

направленные вниз (вдоль луча − z). Фокусы всех параболоидов расположены в начале координат.

Дифференциальные характеристики трёхмерных координат

Коэффициенты Ламэ в трёхмерном случае:

$H_{\sigma} = \sqrt{\sigma^2+\tau^2}$

$H_{\tau} = \sqrt{\sigma^2+\tau^2}$

$H_{\phi} = \sigma\tau\,$

Как видно, коэффициенты H_σ и H_τ совпадают с двумерным случаем. Элемент объёма равен

$dV = h_\sigma h_\tau h_\phi = \sigma\tau \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)\,d\sigma\,d\tau\,d\phi$

а лапласиан равен

$\nabla^2 \Phi = \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial}{\partial \sigma} \left( \sigma \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial}{\partial \tau} \left( \tau \frac{\partial \Phi}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2}$

Прочие дифференциальные операторы, такие как дивергенция или ротор могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

Обратные преобразования

Переход от декартовых координат (x,y,z) к параболическим (η,ξ,φ) осуществляется по формулам:

$\eta = - z + \sqrt{ x^2 + y^2 + z^2 },$

$\xi = z + \sqrt{ x^2 + y^2 + z^2 },$

$\phi = \arctan {y \over x}.$

$\begin{vmatrix}d\eta\\d\xi\\d\phi\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} & \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} &-1+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\ \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} & \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} &1 +\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\ \frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}$

$\eta\ge 0,\quad\xi\ge 0$

При φ=0 получаем ограничение координат на плоскость x-z:

$\eta = -z + \sqrt{ x^2 + z^2},$

$\xi = z + \sqrt{ x^2 + z^2}.$

Линия уровня η=c:

$\left. z \right|_{\eta = c} = {x^2 \over 2 c} - {c \over 2}.$

Это парабола, фокус которой при любом c расположен в начале координат.

Аналогично при ξ=c получаем

$\left. z \right|_{\xi = c} = {c \over 2} - {x^2 \over 2 c}.$

Координатные параболы пересекаются в точке

$P : \left( \sqrt{b c}, {b - c \over 2} \right).$

Пара парабол пересекается в двух точках, но при φ=0 точка оказывается заключена в полуплоскости x>0, так как x<0 соответствует φ=π.

Найдём коэффициенты наклоны касательных к параболам в точке P:

${d z_c \over d x} = {x \over c} = { \sqrt{ b c} \over c} = \sqrt{ b \over c} = s_c.$

${d z_b \over d x} = - {x \over b} = { - \sqrt{ b c } \over b} = - \sqrt{ {c \over b} } = s_b.$

$s_c s_b = - \sqrt{ {b \over c}} \sqrt{ {c \over b}} = -1.$

Так как произведение коэффициентов равно -1, то параболы перпендикулярны в точке пересечения. Таким образом, параболические координаты оказываются ортогональными.

Пара (ξ;η) определяет координаты в полуплоскости. При изменении φ от 0 до 2π полуплоскость вращается вокруг оси z, в качестве координатных поверхностей получются параболоиды вращения и полуплоскости. Пара противоположных параболоидов определяет круг, а величина φ определяет полуплоскость, пересекающую круг в единственной точке. Её декартовы координаты равны

$x = \sqrt{\xi \eta} \cos \phi,$

$y = \sqrt{\xi \eta} \sin \phi,$

$z = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} ( \xi - \eta ).$

$\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\xi}{\eta}}\cos\phi &amp;amp;\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\eta}{\xi}}\cos\phi &amp;amp;-\sqrt{\xi\eta}\sin\phi\\ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\xi}{\eta}}\sin\phi &amp;amp;\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\eta}{\xi}}\sin\phi &amp;amp;\sqrt{\xi\eta}\cos\phi\\ -\frac{1}{2}&amp;amp;\frac{1}{2}&amp;amp;0 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix}d\eta\\d\xi\\d\phi\end{vmatrix}$

Внешние ссылки

• MathWorld description of parabolic coordinates