Операторное исчисление

Теория операторов — раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор — это аналог самой обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах.

Отображение T из векторного пространства X в векторное пространство Y называется линейным оператором если T(αx + βy) = αT(x) + βT(y) для любых x и y в X и любых скаляров α и β. Часто пишут Tx вместо T(x). Линейный оператор из нормированного пространства X в нормированное пространство Y называется ограниченным если найдется положительное вещественное число M такое что $\lVert Tx\rVert\leqslant M\lVert x\rVert$ для всех x в X. Наименьшая константа M удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора T и обозначается $\lVert T\rVert$. Нетрудно видеть что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор.

Множество всех (ограниченных линейных) операторов из из нормированного пространства X в нормированное пространство Y обозначается $L(X,\;Y)$. В случае когда X = Y пишут L(X) вместо $L(X,\;X)$. Если H — Гильбертово пространство, то обычно пишут B(H) вместо L(H). На $L(X,\;Y)$ можно ввести структуту векторного пространства через (T + S)x = Tx + Sx и T(αx) = α(Tx), где $T,\;S\in L(X,\;Y)$, $x,\;y\in X$, а α — произвольный скаляр. С введенной выше операторной нормой, $L(X,\;Y)$ превращается в нормированное пространство.

В частности, $\lVert S+T\rVert\leqslant\lVert S\rVert+\lVert T\rVert$ и $\lVert\alpha T\rVert=\left|\alpha\right|\cdot\lVert T\rVert$ для любых $T,\;S\in L(X,\;Y)$ и произвольного скаляра α. Пространство $L(X,\;Y)$ является Банаховым тогда и только тогда когда Y — Банахово.

Пусть $X,\;Y$ и Z — нормированные пространства, $S\in L(X,\;Y)$ и $T\in L(Y,\;Z)$. Композиция S и T обозначается TS и называется «произведением» операторов S и T. Заметим что $TS\in L(X,\;Z)$ и $\lVert TS\rVert\leqslant\lVert T\rVert\cdot\lVert S\rVert$. Если X — Банахово пространство, то L(X) с введенным выше умножением является Банаховой алгеброй.

В «теории операторов» можно выделить несколько основных разделов:

1. Спектральная теория изучает спектр оператора.
2. Классы операторов. В часности, компактные операторы, Фредгольмовы операторы, изоморфизмы, изометрии, строго сингулярные операторы и т. п. Изучают также неограниченные операторы и частично определенные операторы, в частности замкнутые операторы.
3. Операторы на специальных нормированных пространствах.
   • На Гильбертовых пространствах изучают самосопряженные, нормальные, унитарные, положительные операторы и др.
   • На функциональных пространствах: дифференциальные, псевдодифференциальные, интегральные, и псевдоинтегральные операторы; операторы умножения, подстановки, подстановки с весом и др.
   • На Банаховых решетках: положительные операторы, регулярные операторы и др.
4. Совокупности операторов (то есть, подмножества L(X)): операторные алгебры, операторные полугруппы и др.
5. Теория инвариантных подпространств.