Метод неопределённых коэффициентов

Метод неопределённых коэффициентов ― метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций. Указанная линейная комбинация берётся с неизвестными коэффициентами, которые определяются тем или иным способом из условий рассматриваемой задачи. Обычно для них получается система алгебраических уравнений.

Применения

Ниже приведены задачи, которые решаются методом неопределённых коэффициентов. Система уравнений в них получается из приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях в равных многочленах.

Разложение дроби на простейшие

Классическим примером применения метода неопределённых коэффициентов является разложение правильной рациональной дроби в комплексной или вещественной области на элементарные дроби.

Пусть $P$ и $Q$ — многочлены с комплексными коэффициентами, причём степень многочлена $P$ меньше степени многочлена $Q$. Будем полагать, что степень многочлена $Q$ равна $n$, коэффициент при старшем члене многочлена $Q$ равен 1, а $z_k$, $k \le n$ ― различные корни многочлена $Q$ с кратностями $\alpha_k\ge 1$, соответственно. Отсюда имеем

$Q(z) = (z-z_1)^{\alpha_1}(z-z_2)^{\alpha_2}..(z-z_k)^{\alpha_k},$

$\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_k=n,$

Функция $P/Q$ представима, и притом единственным образом, в виде суммы элементарных дробей

$\frac{P(z)}{Q(z)}=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{\alpha_i}\frac {A_{i,j}}{(z-z_i)^j},$

где $A_{i,j}$ ― неизвестные пока комплексные числа (их число равно $n$). Для их отыскания обе части равенства приводят к общему знаменателю. После его отбрасывания и приведения в правой части подобных членов получается равенство, которое сводится к системе линейных уравнений относительно $A_{i,j}$.

Примечание. Нахождение коэффициентов упрощается, если $Q$ имеет только некратные корни $z_k$, $k=1,...,n$, т.е. все $\alpha_k=1$ и

$\frac{P(z)}{Q(z)}=\sum_{i=1}^n\frac {A_{i}}{z-z_i}.$

После умножения на $z-z_k$ последнего равенства и подстановки $z = z_k$ непосредственно получаем значение соответствующего коэффициента

$A_k = \frac{p(z_k)}{\prod\limits_{i\neq k}(z_k-z_i)}, \quad k=1,...,n.$.

Обращение ряда

Если функция $f(x)$, не равная нулю при $x=0$ разложена в ряд Маклорена:

$f(x)=a_1 x + a_2 x^2 + \ldots,$

то существует ряд Маклорена противоположной функции:

$1/f(x)=b_1 x + b_2 x^2 + \ldots,$

Коэффициенты этого ряда можно найти, перемножив эти два равенства и применив метод неопределённых коэффициентов. Получится бесконечная треугольная система линейных уравнений, из которой последовательно найдутся искомые коэффициенты.

Аналогичным, но более громоздким, образом можно найти коэффициенты ряда обратной функции:

$g(x)=c_1 x + c_2 x^2 + \ldots,$

При этом используется соотношение $g(f(x))=x$, то есть весь ряд для $f(x)$ подставляется вместо $x$ в ряд для $g(x)$.

Сумма степеней

В качестве частного примера можно привести задачу о нахождении формулы k-х степеней: $\sum_{i=0}^n i^k$. Будем искать ответ в виде многочлена $k+1$-ой степени от $n$. Коэффициенты же этого многочлена найдём с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Пример. Ищем $\sum_{i=0}^n i^3$ в виде $p(n) = a n^4+b n^3 +c n^2+d n +e$.

По определению $p(n)-p(n-1)=n^3$, а также $p(1)=1$. Подставляя многочлен в приведённой форме и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему для их определения:

$\begin{cases} 4 a-1=0\\ -6a+3b=0\\ 4 a - 3 b + 2 c = 0\\ -a + b - c + d =0\\ a+b+c+d+e=1 \end{cases},$

откуда получаем ответ: $\sum_{i=0}^n i^3=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$

Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

В некотором смысле данное применение является обобщением предыдущего — в том случае искалось решение разностного уравнения $\Delta p(n)=n^3$, здесь же ищется решение уравнения $a_n f^{(n)}(x)+\ldots + a_2 f''(x)+a_1 f'(x)+a_0 f(x)=g(x)$.

Обычно метод неопределённых коэффициентов применяют в случаях, когда правая часть представляет собой алгебраический или тригонометрический полином.

Ссылки

• Интересные примеры: разложение дроби