Обобщённая гипотеза Пуанкаре

Задачи тысячелетия
Равенство классов P и NP
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Пуанкаре
Гипотеза Римана
Квантовая теория Янга — Миллса
Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса
Гипотеза Берча и Свиннертона — Дайера

Гипотеза Пуанкаре считается наиболее известной задачей топологии. Неформально говоря, она утверждает, что всякий «трёхмерный объект», обладающий некоторыми свойствами трёхмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации.

Гипотеза сформулирована Пуанкаре в 1904 г. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре, как успешные, так и неудачные, привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий. Доказательство гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона о геометризации), опубликовано только в 2002 г. Перельманом (Филдсовская медаль 2006 г.)

Формулировка

В исходной форме она утверждает, что:

Всякое односвязное замкнутое трёхмерное многообразие гомеоморфно трёхмерной сфере.

Обобщённая гипотеза Пуанкаре

Обобщённая гипотеза Пуанкаре утверждает, что:

Для любого n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.

Исходный вариант является частным случаем обобщённой гипотезы при n = 3 и только для этого случая не существовало доказательства. Доказательства для $n\geqslant 5$ получены в начале 1960-1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом (для $n\geqslant 7$, его доказательство было распространено на случаи n = 5 и 6 Зееманом). Доказательство значительно более трудного случая n = 4 было получено только в 1982 г. Фридманом (Филдсовская медаль 1986 г.).

Отметим, из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

См. также

• Открытые математические проблемы

Ссылки

• J. Milnor, The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report in English
• Сергей Николенко Проблемы 2000: Гипотеза Пуанкаре
• John W.Morgan and Gang Tian Ricci Flow and the Poincare Conjecture in English
• B. Kleiner, J. Lott Notes on Perelman's papers in English
• Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков
• Terence Tao Perelman's proof of the Poincaré conjecture: a nonlinear PDE perspective in English