- Непрерывный линейный оператор
-
Непрерывный линейный оператор
Линейный непрерывный оператор дейсвтующий из X в Y() - это линейное отображение из X в Y обладающее свойством непрерывности.Термин линейный непрерывный оператор обычно употребляют в случае, когда . Если или , то принято использовать термин линейный непрерывный функционал[1].
Теория линейных непрерывных операторов играет важную роль в функциональном анализе, математической физике и вычислительной математике.
Содержание
Математическое определение
Пусть - линейный оператор, действующий из векторного пространства X в векторное пространство Y. Тогда оператор A является непрерывным если, для , такой что, следует .
Свойства линейного непрерывного оператора A сильно зависят от свойств пространств X и Y. Например, если X - конечномерное пространство, то оператор A будет вполне непрерывным оператором, область его значений R(A) будет конечномерным линейным подпространством, и каждый такой оператор можно представить в виде матрицы[2].
Свойства
- Всякий ограниченный оператор непрерывен. Обратное также верно: всякий непрерывный оператор ограничен.
- Если линейный оператор непрерывен хотя бы в одной точке , то он непрерывен в каждой точке X.
- Пусть ряд сходится и — линейный непрерывный оператор. Тогда справедливо равенство
- .
Это означает, что к сходящимся рядам в линейных пространствах линейный оператор можно применять почленно.
- Множество всех линейных непрерывных операторов из X в Y (L(X,Y)) есть нормированное пространство. Нормой в этом пространстве будет норма оператора.
- Если X,Y — банаховы пространства, то оператор A переводит каждую слабо сходящуюся последовательность в слабо сходящуюся:
- если слабо, то слабо.
Связанные определения
- Линейный оператор называется ограниченным снизу, если .
См. также
Литература
- Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
- Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
- Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М.: Наука, 1970. — 352 с.
Примечания
- ↑ Линейные непрерывные функционалы обладают специфическими свойствами, не имеющими места в общем случае, и порождают особенные математические структуры, поэтому теорию линейных непрерывных функционалов рассматривают отдельно от общей теории.
- ↑ Также, в конечномерном пространстве X с базисом , линейный непрерывный оператор A можно представить в виде , где - функции из сопряжённого пространства.
Wikimedia Foundation. 2010.
ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР — А в векторном пространстве L отображение, сопоставляющее каждому вектору е век poro множества D (содержащегося в L и наз. областью определения Л. о.) др. вектор, обозначаемый Ае (и называемый значением Л. о. на векторе е). Выполнены след. условия … Физическая энциклопедия
Линейный оператор — Линейным отображением (линейным оператором) векторного пространства LK над полем K в векторное пространство MK (над тем же полем K) называется отображение , удовлетворяющее условию линейности f(αx + βy) = αf(x) + βf(y). для всех и … Википедия
ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР — линейное преобразование, отображение между двумя векторными пространствами, согласованное с их линейными структурами. Точнее, отображение где Еи F векторные пространства над полем k, наз. л и н е й н ы м оператором из Ев F, если при всех… … Математическая энциклопедия
Линейный непрерывный оператор — Линейный непрерывный оператор, действующий из в ( ) это линейное отображение из в , обладающее свойством непрерывности. Термин линейный непрерывный оператор обычно употребляют в случае, когда . Если … Википедия
Линейный функционал — Линейный функционал функционал, обладающий свойством линейности по своему аргументу: где линейный функционал, и функции из его области определения, число (к … Википедия
ОПЕРАТОР — отображение одного множества на другое, каждое из к рых наделено нек рой структурой (алгебраич. операциями, топологией, отношением порядка). Общее определение О. совпадает с определением отображения или функции: пусть Xи Y два множества;… … Математическая энциклопедия
СПЛЕТАЮЩИЙ ОПЕРАТОР — непрерывный линейный оператор такой, что где и отображения множества Xв топологические векторные пространства E1 и E2, а Понятие лС. о … Математическая энциклопедия
Сопряжённый оператор — Содержание 1 Общее линейное пространство 2 Топологическое линейное пространство … Википедия
ФУРЬЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР — интегральный оператор, обобщенное ядро к рого является быстроосциллирующей функцией или интегралом от такой функции. Операторы такого типа возникли при исследовании асимптотики быстроосциллирующих решений уравнений с частными производными (см.… … Математическая энциклопедия
НЕПРЕРЫВНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ — непрерывный оператор, отображающий топологическое и, как правило, векторное пространство в или . Поэтому определение и признаки непрерывности произвольного оператора сохраняются с соответствующей спецификацией и для функционалов. Так, напр.: 1)… … Математическая энциклопедия