Метод чисел Фибоначчи

Метод золотого сечения — метод поиска значений действительно-значной функции на заданном отрезке. В основе метода лежит принцип деления в пропорциях золотого сечения. Наиболее широко известен как метод поиска экстремума в решении задач оптимизации.

Описание метода

Пусть задана функция $f(x):\;[a,\;b]\to\mathbb{R},\;f(x)\in\mathrm{C}([a,\;b])\!$. Тогда для того, чтобы найти определённое значение этой функции на заданном отрезке, отвечающее критерию поиска (пусть это будет минимум), рассматриваемый отрезок делится в пропорции золотого сечения в обоих направлениях, то есть выбираются две точки $x_1\!$ и $x_2\!$ такие, что:

Иллюстрация выбора промежуточных точек метода золотого сечения.

$\frac{b-a}{b-x_1}=\frac{b-a}{x_2-a}=\phi=1.618\ldots$, где $\phi\!$ — пропорция золотого сечения.

Таким образом:

$\begin{array}{ccc} x_1 &=& b-\frac{(b-a)}{\phi}\\ x_2 &=& a+\frac{(b-a)}{\phi} \end{array}\!$

То есть точка $x_1\!$ делит отрезок $[a,\;x_2]\!$ в отношении золотого сечения. Аналогично $x_2\!$ делит отрезок $[x_1,\;b]\!$ в той же пропорции. Это свойство и используется для построения итеративного процесса.

Алгоритм

На первой итерации заданный отрезок делится двумя симметричными относительно его центра, точками и рассчитываются значения в этих точках. После чего тот из концов отрезка, к которому среди двух вновь поставленных точек ближе оказалась та, значение в которой максимально (для случая поиска минимума), отбрасывают. На следующей итерации в силу показанного выше свойства золотого сечения уже надо искать всего одну новую точку. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.

Формализация

1. Шаг 1. Задаются начальные границы отрезка $a,\;b\!$ и точность $\varepsilon\!$, рассчитывают начальные точки деления: $x_1 = b-\frac{(b-a)}{\phi},\quad x_2 = a+\frac{(b-a)}{\phi}\!$ и значения в них целевой функции: $y_1=f(x_1),\;y_2=f(x_2)\!$.
2. Шаг 2.
   • Если $y_1<=y_2\!$, то $b=x_2,\; x_2=x_1,\; x_1=b-\frac{(b-a)}{\phi},\; y_2=y_1,\; y_1=f(x_1)\!$.
   • Иначе $a=x_1,\; x_1=x_2,\; x_2=a+\frac{(b-a)}{\phi},\; y_1=y_2,\; y_2=f(x_2)\!$.
3. Шаг 3.
   • Если $|b-a|<\varepsilon \!$, то $x=\arg\min (y_1,y_2)\!$ и останов.
   • Иначе возврат к шагу 2.

Метод чисел Фибоначчи

В силу того, что в асимптотике $\phi=\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}$, метод золотого сечения может быть трансформирован в так называемый метод чисел Фибоначчи. Однако при этом в силу свойств чисел Фибоначчи количество итерации строго ограничено. Это удобно, если сразу задано количество возможных обращений к функции.

Алгоритм

1. Шаг 1. Задаются начальными границами отрезка $a,\;b\!$ и числом итераций $n\!$, рассчитывают начальные точки деления: $x_1 = a+(b-a)\frac{F_{n-2}}{F_n},\quad x_2 = a+(b-a)\frac{F_{n-1}}{F_n}\!$ и значения в них целевой функции: $y_1=f(x_1),\;y_2=f(x_2)\!$.
2. Шаг 2. $n=n-1\!$.
   • Если $y_1<y_2\!$, то $b=x_2,\;x_2=x_1,\;x_1=a+(b-x_2)\!$.
   • Иначе $a=x_1,\; x_1=x_2,\; x_2=b-(x_1-a)\!$.
3. Шаг 3.
   • Если $n=1\!$, то $x=x_1=x_2\!$ и останов.
   • Иначе возврат к шагу 2.

Литература

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. пец. вузов. — М.: Высш. шк., 1986.
2. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. — М.: Мир, 1985.
3. Коршунов Ю.М., Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. — М.: Энергоатомиздат, 1972.
4. Максимов Ю.А.,Филлиповская Е.А. Алгоритмы решения задач нелинейного программирования. — М.: МИФИ, 1982.
5. Максимов Ю.А. Алгоритмы линейного и дискретного программирования. — М.: МИФИ, 1980.
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1970. — С. 575-576.

См. также

• Золотое сечение
• Числа Фибоначчи