Математическое основание квантовой механики

Математическое основание квантовой механики

Математический аппарат нерелятивистской квантовой механики строится на следующих положениях:[1]

  • Чистые состояния системы описываются ненулевыми векторами ~\psi комплексного сепарабельного гильбертова пространства ~H, причем векторы ~\psi_1 и ~\psi_2 описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда ~\psi_2=c\psi_1 , где ~c — произвольное комплексное число. Каждой наблюдаемой однозначно сопоставляется линейный самосопряженный оператор.
  • Наблюдаемые одновременно измеримы тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряженные операторы перестановочны (коммутируют).
  • Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы во времени определяется нестационарным уравнением Шредингера
~i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}= \hat{H}\psi ,
где ~\hat{H} — гамильтониан:
~{\hat{H}}=-{\frac{{\hbar}^2}{2m}}{ \left( {\frac{{{\partial}^2}{}}{{{\partial}x}^2}}+{\frac{{{\partial}^2}{}}{{{\partial}y}^2}}+{\frac{{{\partial}^2}{}}{{{\partial}z}^2}} \right) }+{\hat E_{\rm{pot}}} .
Стационарные, т.е. не меняющиеся со временем состояния, определяются стационарным уравнением Шредингера:
~{{\hat{H}}{\psi}}={E{\psi}}  .
  • Каждому вектору ~\psi\not=0 из пространства ~H отвечает некоторое чистое состояние системы, любой линейный самосопряженный оператор соответствует некоторой наблюдаемой.

Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодных для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Дальнейшим развитием этого аппарата является уравнение Дирака, которое с хорошей точностью позволяет описать релятивистские эффекты. Для описания состояний открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем используется матрица плотности, а для описания эволюции таких систем применяется уравнение Линдблада.

Литература

Ссылки

  1. Ф. А. Березин, М. А. Шубин. Уравнение Шредингера. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Математическое основание квантовой механики" в других словарях:

  • Волновая механика — Квантовая механика Принцип неопределённости Введение ... Математическая формулировка ... Основа …   Википедия

  • Квантовая система — Квантовая механика Принцип неопределённости Введение ... Математическая формулировка ... Основа …   Википедия

  • Матричная механика — Квантовая механика Принцип неопределённости Введение ... Математическая формулировка ... Основа …   Википедия

  • Механика квантовая — Квантовая механика Принцип неопределённости Введение ... Математическая формулировка ... Основа …   Википедия

  • Гейзенберг, Вернер — Вернер Карл Гейзенберг Werner Karl Heisenberg …   Википедия

  • МАТЕМАТИКА — наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально – о математических множествах и величинах; напр., элементарная математика – наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия) и о… …   Философская энциклопедия

  • Частная теория относительности — Специальная теория относительности (СТО) (англ. special theory of relativity; частная теория относительности; релятивистская механика)  теория, описывающая движение, законы механики и пространственно временные отношения, определяющие их, при… …   Википедия

  • ДЕТЕРМИНИЗМ —         (от лат. determino определяю), филос. учение об объективной закономерной взаимосвязи и взаимообусловленности явлений материального и духовного мира. Центральным ядром Д. служит положение о существовании причинности, т. е. такой связи… …   Философская энциклопедия

  • ЛОГИКА В РОССИИ — эволюция современной (математической) логики в России. Кон. 19 в. и нач. 20 в. знаменуют выход логики за рамки силлогистики и появление логиков новаторов, таких как П.С. Порецкий, М.В. Каринский, Л.В. Рутковский, СИ. Поварнин, и др. Казанский… …   Философская энциклопедия

  • МЕРА —         филос. категория, выражающая диалектич. единство качеств, и количеств. характеристик объекта. Качество любого объекта органически связано с оп редел. количеством. В рамках данной М. количеств. характеристики могут меняться за счёт… …   Философская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»