- Интеграл Лебега — Стилтьеса
-
Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако, существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах.
Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.
Содержание
Определение
Интеграл Лебега определяют индуктивно, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой
, и на нем определена измеримая функция
.
Определение 1. Пусть
— индикатор некоторого измеримого множества, то есть
, где
. Тогда интеграл Лебега функции
по определению:
Определение 2. Пусть
— простая функция, то есть
, где
, а
— конечное разбиение
на измеримые множества. Тогда
.
Определение 3. Пусть теперь
— неотрицательная функция, то есть
. Рассмотрим все простые функции
, такие что
. Обозначим это семейство
. Для каждой функции из этого семейства уже определён интеграл Лебега. Тогда интеграл от f задаётся формулой:
Наконец, если функция f произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:
где
.
Определение 4. Пусть
— произвольная измеримая функция. Тогда ее интеграл задаётся формулой:
.
Определение 5. Пусть наконец
произвольное измеримое множество. Тогда по определению
,
где
— индикатор-функция множества A.
Пример
Рассмотрим функцию Дирихле
, заданную на
, где
— борелевская σ-алгебра на
, а
— мера Лебега. Эта функция принимает значение
в рациональных точках и
в иррациональных. Легко увидеть, что
не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:
Действительно, мера отрезка [0,1] равна 1, и так как множество рациональных чисел счётно, то его мера равна 0, а значит мера иррациональных чисел равна 1 − 0 = 1.
Замечания
- Так как
, измеримая функция
интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция
интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
- В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
- Если функция определена на вероятностном пространстве
и измерима, то она называется случайной величиной, а ее интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.
Простейшие свойства интеграла Лебега
- Интеграл Лебега линеен, то есть
,
где
— произвольные константы;
- Интеграл Лебега сохраняет неравенства, то есть если
п.в., и
интегрируема, то интегрируема и
, и более того
;
- Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, то есть если
п.в., то
.
Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций
Wikimedia Foundation. 2010.