Аксиома объёмности

Аксиомой объёмности называется следующее высказывание теории множеств:

$~ \forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \to a_1 = a_2)$

Если переписать аксиому объёмности в виде

$~ \forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b \ (b \in a_1 \to b \in a_2) \ \land \ \forall b \ (b \in a_2 \to b \in a_1) \to a_1 = a_2)$,

тогда названную аксиому можно сформулировать по-русски:

"Каковы бы ни были два множества, если каждый элемент 1-го множества принадлежит 2-му множеству, а каждый элемент 2-го множества принадлежит 1-му множеству, тогда первое множество идентично второму множеству."

Другие формулировки аксиомы объёмности

$~ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 \subseteq a_2 \ \land \ a_2 \subseteq a_1 \to a_1 = a_2)$

$~ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 \ne a_2 \to \exist b \ (b \in a_1 \ \veebar \ b \in a_2) \ )$

Примечания

Аксиома объёмности выражает необходимое условие равенства двух множеств. Достаточное условие равенства множеств выводится из аксиом предиката $~ =$, а именно:

$~ \forall a \ (a = a)$,

$~ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 = a_2 \to (\varphi[a_1] \to \varphi[a_2]))$, где $~ \varphi[a_1]$ — любое математически корректное суждение об $~ a_1$, а $~ \varphi[a_2]$ — то же самое суждение, но об $~ a_2$.

Соединяя указанное достаточное условие равенства множеств с аксиомой объёмности, получаем следующий критерий равенства множеств:

$~ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 = a_2 \leftrightarrow \forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \ )$

Указанный критерий равенства множеств не хуже и не лучше других аналогичных критериев, включая:

1) критерий равенства комплексных чисел

$~ \forall x \forall y \forall u \forall v \ (x,y,u,v \in \mathbb{R} \to (x + iy = u + iv \leftrightarrow x = u \ \land \ y = v))$,

2) критерий равенства упорядоченных пар

$~ \forall x \forall y \forall u \forall v \ ( \ (x,y) = (u,v) \leftrightarrow x = u \ \land \ y = v) \ )$,

3) критерий равенства неупорядоченных пар

$~ \forall x \forall y \forall u \forall v \ (\{x,y\} = \{u,v\} \leftrightarrow x = u \ \land \ y = v \quad \lor \quad x = v \ \land \ y = u) \ )$,

4) критерий равенства двух последовательностей

$~ \{x_n\} = \{y_n\} \leftrightarrow \forall i \ (i \in \mathbb{N} \to x_i = y_i)$.

Из изложенного ясно, что аксиома объёмности является органичной частью аксиоматики теории множеств.

Аксиому объёмности применяют при доказательстве единственности множества, существование которого уже декларировано [аксиомой} либо установлено [доказательством теоремы].

Примеры

1. Доказательство единственности пустого множества

Cуществование [по меньшей мере одного] пустого множества декларировано аксиомой

$~ \exist a \forall b \ (b \notin a)$.

Требуется доказать существование не более, чем одного множества $~ a$, для которого верно высказывание

$~ \forall b \ (b \notin a)$.

Иначе говоря, требуется доказать

$~ \exist \{0,1\} a \ (\forall b \ (b \notin a))$

Или, что то же самое, требуется доказать

$~ \forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b (b \notin a_1) \ \land \ \forall b (b \notin a_2) \to a_1 = a_2)$

Доказательство

$\begin{align} \forall b (b \notin a_1) \ \land \ \forall b (b \notin a_2) \Leftrightarrow \forall b (b \notin a_1 \ \land \ b \notin a_2) \Rightarrow \forall b (b \notin a_1 \leftrightarrow b \notin a_2) \\ \ \Leftrightarrow \forall b (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \Rightarrow a_1 = a_2 \end{align}$

Поскольку $~ \exist a \forall b \ (b \notin a) \ \land \ \exist\{0,1\}a \forall b \ (b \notin a) \Leftrightarrow \exist \{1\} a \forall b \ (b \notin a)$, постольку доказательство единственности пустого множества завершено.

2. Доказательство единственности множества подмножеств

Существование [по меньшей мере одного] множества подмножеств декларировано аксиомой

$~ \forall a \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)$

Требуется доказать существование не более, чем одного множества $~ d$, для которого верно высказывание

$~ \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)$

Иначе говоря, требуется доказать

$~ \exist \{0,1\} d \ (\forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a))$

Или, что то же самое, требуется доказать

$~ \forall d_1 \forall d_2 \ (\forall b \ (b \in d_1 \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ \forall b \ (b \in d_2 \leftrightarrow b \subseteq a) \to d_1 = d_2)$

Доказательство

$\begin{align} \forall b (b \in d_1 \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ \forall b (b \in d_2 \leftrightarrow b \subseteq a) \Leftrightarrow \forall b ((b \in d_1 \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ (b \in d_2 \leftrightarrow b \subseteq a)) \\ \ \Rightarrow \forall b (b \in d_1 \leftrightarrow b \in d_2) \Rightarrow d_1 = d_2 \end{align}$

Поскольку $~ \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ \exist \{0,1\}d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a) \Leftrightarrow \exist \{1\}d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)$, постольку доказательство единственности множества подмножеств завершено.

См. также

• Аксиоматика теории множеств

Литература

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей. Викифицировать статью.