Принцип аргумента

Контур C изображён чёрным, нули f — синим, а полюса — красным. В данном случае $\oint_{C} {f'(z) \over f(z)}\, dz=2\pi i (4-5)$.

Принципом аргумента в комплексном анализе называют следующую теорему:

Теорема. Если функция $f$ мероморфна в замыкании некоторой односвязной ограниченной области $G$ с гладкой границей $\partial G$ и не имеет на её границе ни нулей, ни полюсов, то справедлива следующая формула:

$N-P = {1\over 2\pi i}\int\limits_{\partial G}{df\over f} = {1\over 2\pi}\Delta_{\partial G}\, \operatorname{arg}\, f$,

где $N$ и $P$ — количества соответственно нулей и полюсов функции $f$ в $G$, учтённых каждый с его кратностью, а $\Delta_{\partial G}\, \operatorname{arg}\, f$ — изменение аргумента $f(z)$ при обходе вдоль контура области $G$ (ориентация контура стандартная).

Доказательство

Пусть $f(z) = (z-a)^k g(z)$, причём функция $g$ голоморфна в точке $a$ и не равна в ней нулю (точка $a$ из области $G$). Тогда

${df\over f} = k{dz\over z-a} + {dg\over g}$.

Так как 1-форма $\frac{dg}{g}$ голоморфна в точке $a$, её вычет в этой точке равен нулю, и вычет формы $\frac{df}{f}$ в точке $a$ равен $k$, то есть он равен порядку нуля (или минус порядку полюса) функции $f$ в этой точке.

Используя эти соображения и основную теорему о вычетах, интеграл в формулировке теоремы можно вычислить явно:

${1\over 2\pi i}\int\limits_{\partial G}{df\over f} = \sum\limits_a\operatorname{res}_a{df\over f} = N - P$.

Таким образом, первая половина формулы доказана.

Чтобы доказать вторую половину формулы, проведём простой разрез $\Gamma$ внутри области $G$, проходящий через все нули и полюса функции $f$, и выходящий на границу области $G$ в некоторой точке $z_0$. Область с разрезом $G$\$\Gamma$ теперь односвязна, и замкнутая 1-форма $\frac{df}{f}$ не имеет особенностей внутри неё и на контуре $\partial G$ , и значит точна в $\overline G\setminus\Gamma$, то есть допускает там первообразную $F(z)$. Функция $F(z)$ будет первообразной для формы $\frac{df}{f}$ также и вдоль контура области $G$ с выколотой точкой $z_0$. Поэтому можно применить формулу Ньютона-Лейбница:

$\int\limits_{\partial G}{df\over f} = \int\limits_{\partial G\setminus\{z_0\}}dF = F(z_0 - 0) - F(z_0 + 0)$.

Так как $dF = \frac{df}{f} = d(\ln f)\,$, то функция $F(z)$ с точностью до константы совпадает с некоторой однозначной ветвью логарифма функции $f$, и поэтому справедливо равенство:

$\,F(z) = \ln |f(z)| + i \arg f(z) + {\rm{const}}$.

Подставляя это выражение в формулу Ньютона-Лейбница, окончательно получаем:

$\int\limits_{\partial G}\,\frac{df}{f} = F(z_0 - 0) - F(z_0 + 0) = i(\arg f(z_0 - 0) - \arg f(z_0 + 0)) = i\Delta_{\partial G}\arg f$.

См. также

• Теорема Абеля — Плана
• Аргумент