Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова

Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова

Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова — один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по её разомкнутой АФЧХ. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость весьма просто, без необходимости вычисления полюсов передаточной функции замкнутой системы.

Условие устойчивости

Передаточная функция динамической системы $\ T(s)$ может быть представлена в виде дроби

$\ T(s) = \frac{N(s)}{D(s)}$.

Устойчивость $\ T(s)$ достигается тогда, когда все её полюса находятся в левой полуплоскости на плоскости корней. В правой полуплоскости их быть не должно. Если $\ T(s)$ получена замыканием отрицательной обратной связью разомкнутой системы с передаточной функцией $\ F(s) = \frac{A(s)}{B(s)}$, тогда полюса передаточной функции замкнутой системы являются нулями функции $\ 1 + F(s)$ Выражение $\ 1 + F(s) = 0$ называется характеристическим уравнением системы.

Принцип аргумента Коши

Из теории функций комплексного переменного известно, что контур $\Gamma_s\$ охватывающий на $\ s$-плоскости некоторое число неаналитических точек может быть отображён на другую комплексную плоскость (плоскость $\ F(s)$) при помощи функции $\ F(s)$ таким образом, что получившийся контур $\Gamma_{F(s)}\$ будет охватывать центр $\ F(S)$-плоскости $\ n$ раз, причём $\ n = z - p$, где $\ z$ — число нулей, а $\ p$ — число полюсов функции $\ F(s)$. Положительным считается направление, совпадающее с направлением контура $\Gamma_s\$, а отрицательным — противоположное ему.

Формулировка критерия

Сначала построим контур, охватывающий правую полуплоскость комплексной плоскости. Контур состоит из следующих участков:

• участок, идущий вверх по оси $\ j\omega\$, от $0 - j\infty$ до $0 + j\infty$.
• полуокружность радиусом $r \to \infty$, начинающаяся в точке $0 + j\infty$ и достигающая конца в точке $0 - j\infty$ по часовой стрелке.

Далее отображаем этот контур посредством передаточной функции разомкнутой системы $\ F(s)$, в результате чего получаем плоскость АФЧХ системы. Согласно принципу аргумента число оборотов по часовой стрелке вокруг начала координат должно быть равно количеству нулей функции $\ F(s)$ минус количество полюсов $\ F(s)$ в правой полуплоскости. Если рассматривать вместо начала координат точку $\ -1 + j0$, получим разницу между числом нулей и полюсов в правой полуплоскости для функции $\ 1+F(s)$. Заметив, что функция $\ 1+F(s)$ имеет такие же полюса, что и функция $\ F(s)$, а полюса разомкнутой системы являются нулями замкнутой системы, сформулируем критерий Найквиста — Михайлова:

Пусть $\Gamma_s\$ — замкнутый контур в комплексной плоскости, $\ p$ — число полюсов $\ F(s)$, охваченных контуром $\Gamma_s\$, а $\ z$ — число нулей $\ F(s)$, охваченных $\Gamma_s\$ — то есть число полюсов $\ T(s)$ охваченных $\Gamma_s\$. Получившийся контур в $\ F(s)$-плоскости, $\Gamma_{F(s)}\$ должен для обеспечения устойчивости замкнутой системы охватывать (по часовой стрелке) точку $\ -1 + j0$ $\ n$ раз, где $\ n = z - p$.

Следствия критерия Найквиста-Михайлова:

• Если разомкнутая система с передаточной функцией $\ F(s)$ устойчива, замкнутая система является устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку −1.
• Если разомкнутая система неустойчива, то количество оборотов $\ F(s)$ вокруг точки −1 должно быть равно числу полюсов $\ F(s)$ в правой полуплоскости.
• Количество дополнительных охватов (больше, чем $\ n + p$) вокруг точки −1 в точности равно количеству неустойчивых полюсов замкнутой системы.

См. также

• Критерий устойчивости Рауса
• Критерий устойчивости Гурвица
• Критерий устойчивости в пространстве состояний
• ЛАФЧХ
• Электронный усилитель
• Генератор (электроника)