Овал Кассини

Овалы Кассини (a=0.6c, 0.8c, c, 1.2c, 1.4c, 1.6c)

Овал Кассини — геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа $a$.

Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии равном $2a$ является Лемниската Бернулли. Сам овал является лемнискатой с двумя фокусами.

Кривая была придумана астрономом Джовании Кассини. Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс^[1]. Хотя эту линию называют овалом Кассини, она не всегда овальна (см. ниже — Особенности формы).

Кривая постоянной суммы расстояний между двумя точками — эллипс, постоянного отношения — окружность Аполлония, постоянной разности — гипербола.

Уравнения

Расстояние между фокусами $2c$.

• В прямоугольных координатах:

$\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$

Вывод

Фокусы — $F_1(-c;0)$ и $F_2(c;0)$. Возьмём произвольную точку $M(x;y)$, найдём расстояние от фокусов до неё и приравняем его к $a^2$: $\textstyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}\cdot\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2$ Возводим в квадрат обе части равенства: $\textstyle \Big((x+c)^2+y^2\Big)\cdot\Big( (x-c)^2+y^2\Big)=a^4$ Раскрываем скобки в левой части: $\textstyle (x^2-c^2)^2+y^4+2y^2(x^2+c^2)=a^4$ Раскрываем скобки, свёртываем новый квадрат суммы и выносим общий множитель: $\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$

• Явное уравнение в прямоугольных координатах:

$\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{a^4+4c^2x^2}-x^2-c^2}$

Вывод

$\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$ Возводим в квадрат и раскрываем скобки: $\textstyle x^4+2x^{2}y^2+y^4-2c^{2}x^2+2c^{2}y^2=a^4-c^4$ Приводим к виду $\textstyle y^4+2y^{2}(x^2+c^2)+x^4-2c^{2}x^2-a^4+c^4=0$ Это квадратное уравнение относительно $y^2$. Решив его, получим $\textstyle y^2=-(x^2+c^2)\pm\sqrt{a^4+4x^{2}c^2}$ Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим: $\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{a^4+4x^2 c^2}-x^2-c^2}$ где положительный вариант определяет верхнюю половину кривой, отрицательный — нижнюю.

• В полярной системе координат:

$\rho^4-2c^2\rho^2\cos{2\varphi}=a^4-c^4$

Вывод

$\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$ Используя формулы перехода к полярной системе координат $x=\rho\cos\varphi,\,y=\rho\sin\varphi,$ получим: $\Big(\rho^2\cos^{2}\varphi+\rho^2\sin^{2}\varphi\Big)^2-2c^2\Big(\rho^2\cos^2\varphi-\rho^2\sin^2\varphi\Big)=a^4-c^4$ Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $\textstyle\rho^4-2c^2\rho^2(cos^2\varphi-\sin^2\varphi)=a^4-c^4$ Используем ещё одно тождество: $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = cos 2\alpha$: $\textstyle\rho^4-2c^2 \rho^2\cos 2\varphi=a^4-c^4$

Особенности формы

Меняется параметр $a$

Меняется параметр $c$

В уравнении кривой содержатся два независимых параметра: $c$ — половина расстояния между фокусами и $a$ — произведение расстояний от фокусов до любой точки кривой. С точки зрения формы наиболее существенно отношение параметров, а не их величины, которые при неизменном отношении определяют лишь размер фигуры. Можно выделить шесть разновидностей формы в зависимости от величины отношения $\textstyle\frac{c}{a}$:

• $\textstyle\frac{c}{a}=\infty$, то есть $\textstyle a=0$ при $\textstyle c\neq 0$.

Кривая вырождается в две точки, которые совпадают с фокусами. При $c\to\infty$ форма кривой стремится к двум точкам.

• $\textstyle 1<\frac{c}{a}<\infty$, то есть $\textstyle 0<a<c$

Кривая распадается на два отдельных овала, каждый из которых вытянут в направлении другого и по форме напоминает яйцо.

• $\textstyle\frac{c}{a}=1$, то есть $\textstyle a=c$

Правая часть уравнения в прямоугольных координатах (см. выше) обращается в ноль, и кривая становится лемнискатой Бернулли.

• $\textstyle \frac{1}{\sqrt{2}}<\frac{c}{a}<1$, то есть $\textstyle c<a<c\sqrt{2}$

У кривой появляются четыре симметричные точки перегиба (по одной в каждой координатной четверти). Кривизна в точках пересечения с осью $OY$ стремится к нулю, когда $a$ стремится к $c$ и к бесконечности, когда $a$ стремится к $c\sqrt{2}$.

• $\textstyle 0<\frac{c}{a}\leqslant\frac{1}{\sqrt{2}}$, то есть $\textstyle a\geqslant c\sqrt{2}$

Кривая становится овалом, то есть выпуклой замкнутой кривой.

• $\textstyle\frac{c}{a}=0$, то есть $\textstyle c=0$ при $\textstyle a\neq 0$

По мере увеличения $a$ (то есть стремления отношения $\textstyle\frac{c}{a}$ к нулю) кривая стремится к окружности радиуса $a$. Если $c=0$, то отношение $\textstyle\frac{c}{a}$ достигает нуля, и в этом случае кривая вырождается в окружность.

Свойства

Чёрная окружность — множество максимумов и минимумов; синяя лемниската — множество точек перегиба

• Овал Кассини — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
• Она симметрична относительно середины отрезка между фокусами.
• При $0<a< c\sqrt{2}$ имеет два абсолютных максимума и два минимума:

$\begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c} \\ y=\pm\frac{a^2}{2c}\end{cases}$

Геометрическое место точек абсолютных максимумов и минимумов — окружность радиуса $c$ с центром в середине отрезка между фокусами.

• При $c<a\leqslant c\sqrt{2}$ кривая имеет четыре точки перегиба. Их полярные координаты:

$\begin{cases}\rho=\sqrt[4]{\frac{a^4-c^4}{3}} \\ \cos 2\varphi =-\sqrt{\frac{1}{3}\left (\frac{a^4}{c^4}-1\right )}\end{cases}$

Геометрическое место точек перегиба — лемниската с вершинами $\left (0;\pm c\right )$.

• Радиус кривизны для представления в полярных координатах:

$R=\frac{a^2\rho}{\rho^2+c^2\cos{2\varphi}}=\frac{2a^2\rho^3}{c^4-a^4+3\rho^4}$

См. также

• Лемниската Бута
• Лемниската Бернулли
• Плоская кривая
• Алгебраическая кривая
• Многофокусная алгебраическая кривая
• Овал Декарта

Литература

• Математическая энциклопедия (в 5-и томах), Москва, «Советская Энциклопедия», 1982, т. 2 Д-Коо, стр. 759.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 стр.

Примечания

1. ↑ Космические овалы Кассини Е. Скляревский