Периодическое состояние

Периоди́ческое состоя́ние — это такое состояние цепи Маркова, которое навещается цепью только через промежутки времени, кратные фиксированному числу.

Период состояния

Пусть дана однородная цепь Маркова с дискретным временем $\{X_n\}_{n \ge 0}$ с матрицей переходных вероятностей $P$. В частности, для любого $n \in \mathbb{N}$, матрица $P^n = \left(p_{ij}^{(n)} \right)$ является матрицей переходных вероятностей за $n$ шагов. Рассмотрим последовательность $p^{(n)}_{jj},\, n \in \mathbb{N}$. Число

$d(j) = \gcd \left(n \in \mathbb{N} \mid p_{jj}^{(n)} > 0 \right)$,

где $\gcd$ обозначает наибольший общий делитель, называется пери́одом состояния $j$.

Замечание

Таким образом, период состояния $j$ равен $d(j)$, если из того, что $p_{jj}^{(n)}>0$, следует, что $n$ делится на $d(j)$.

Периодические состояния и цепи

• Если $d(j) > 1$, то состояние $j$ называется периоди́ческим. Если $d(j) = 1$, то состояние $j$ называется апериоди́ческим.

• Периоды сообщающихся состояний совпадают:

$( i \leftrightarrow j ) \Rightarrow ( d(i) = d(j) )$.

Таким образом период любого неразложимого класса цепи Маркова определён и равен периоду любого своего представителя. Соответственно, классы делятся на периодические и апериодические.

• Если цепь Маркова неразложима, то периоды всех её состояний совпадают и принимаемое ими общее значение называется периодом цепи. Цепь называется периодической, если её период больше единицы, и апериодической в противном случае.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.