- Условное математическое ожидание
-
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 2 октября 2011.См. также: Математическое ожиданиеУсловное математическое ожидание в теории вероятностей — это среднее значение случайной величины относительно условного распределения.
Содержание
Определения
Будем считать, что дано вероятностное пространство
. Пусть
— интегрируемая случайная величина, то есть
. Пусть также
— σ-подалгебра σ-алгебры
.
УМО относительно σ-алгебры
Случайная величина
называется условным математическим ожиданием
относительно σ-алгебры
, если
измерима относительно
.
,
где
— индикатор события
. Условное математическое ожидание обозначается
.
Пример. Пусть
Положим
. Тогда
— σ-алгебра, и
. Пусть случайная величина
имеет вид
.
Тогда
УМО относительно семейства событий
Пусть
— произвольное семейство событий. Тогда условным математическим ожиданием
относительно
называется
,
где
— минимальная сигма-алгебра, содержащая
.
Пример. Пусть
Пусть также
. Тогда
. Пусть случайная величина
имеет вид
.
Тогда
УМО относительно случайной величины
Пусть
другая случайная величина. Тогда условным математическим ожиданием
относительно
называется
,
где
— σ-алгебра, порождённая случайной величиной
.
Другое определение УМО
относительно
:
Такое определение конструктивно описывает алгоритм нахождения УМО:
- найти математическое ожидание случайной величины
, принимая
за константу
;
- Затем в полученном выражении
обратно заменить на случайную величину
.
Пример:
Условная вероятность
Пусть
— произвольное событие, и
— его индикатор. Тогда условной вероятностью
относительно
называется
.
Замечания
- Условное математическое ожидание — это случайная величина, а не число.
- Условное математическое ожидание определено с точностью до событий вероятности нуль. Таким образом, если
и
-почти всюду, то
. Отождествив случайные величины, различающиеся лишь на событиях вероятности нуль, получаем единственность условного математического ожидания.
- Взяв
, получаем по определению:
,
и в частности справедлива формула полной вероятности:
.
- Пусть σ-алгебра
порождена разбиением
. Тогда
.
В частности формула полной вероятности принимает классический вид:
,
а следовательно
.
Основные свойства
- Если
, то существует борелевская функция
, такая что
.
Условное математическое ожидание
относительно события
по определению равно
.
- Если
п.н., то
п.н.
- Если
независима от
, то
п.н.
В частности, если
независимые случайные величины, то
п.н.
- Если
— две σ-алгебры, такие что
, то
.
- Если
—
-измерима, и
— случайная величина, такая что
, то
.
- «Математическое ожидание убирает условие». Это правило верно для УМО относительно случайной величины (УМО в таком случае будет случайной величиной) и для условной вероятности относительно случайной величины
.
Дополнительные свойства
- Теорема Леви о монотонной сходимости;
- Теорема Лебега о мажорируемой сходимости;
- Лемма Фату;
- Неравенство Йенсена;
- Теорема Дряхлова.
УМО для дискретных величин
Пусть
— дискретная случайная величина, чьё распределение задаётся функцией вероятности
. Тогда система событий
является разбиением
, и
,
а
,
где
означает математическое ожидание, взятое относительно условной вероятности
.
Если случайная величина
также дискретна, то
,
где
— условная функция вероятности случайной величины
относительно
.
УМО для абсолютно непрерывных случайных величин
Пусть
— случайные величины, такие что вектор
абсолютно непрерывен, и его распределение задаётся плотностью вероятности
. Введём условную плотность
, положив по определению
,
где
— плотность вероятности случайной величины
. Тогда
,
где функция
имеет вид
.
В частности,
.
УМО в L2
Рассмотрим пространство случайных величин с конечным вторым моментом
. В нём определены скалярное произведение
,
и порождённая им норма
.
Множество всех случайных величин
с конечным вторым моментом и измеримых относительно
, где
, является подпространством
. Тогда оператор
, задаваемый равенством
,
является оператором ортогонального проектирования на
. В частности:
- Условное математическое ожидание
— это наилучшее средне-квадратичное приближение
-измеримыми случайными величинами:
.
- Условное математическое ожидание сохраняет скалярное произведение:
.
- Условное математическое ожидание идемпотентно:
.
См. также
Категория:- Теория вероятностей
Wikimedia Foundation. 2010.