УСЛОВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ

случайной величины-функция элементарного события, характеризующая случайную величину по отношению к нек-рой -алгебре. Пусть -вероятностное пространство, Х - заданная на нем случайная величина с конечным математич. ожиданием, есть -алгебра, У. м. о. случайной величины Xотносительно -алгебры наз. случайная величина измеримая относительно -алгебры и такая, что

для каждого Если математич. ожидание случайной величины Xбесконечно (но определено), т. е. конечна только одна из величин и то определение У. м. о. посредством (*) имеет смысл, но может принимать бесконечные значения.
У. м. о. определяется однозначно с точностью до эквивалентности. В отличие от математического ожидания, являющегося числом, У. м. о. представляет собой функцию (случайную величину).
Свойства У. м. о. аналогичны свойствам математич. ожидания:

1) если почти наверное
2) для любого действительного с;
3) для любых действительных и
4)
5) для выпуклых функций g(x).

Кроме того, имеют место следующие специфические для У. м. о. свойства:

6) если -тривиальная -алгебра, то
7)
8)
9) если Xне зависит от -алгебры то
10) если Yизмерима относительно -алгебры то
Имеет место теорема о сходимости под знаком У. м. о.: если X₁, Х₂, ... - последовательность случайных величин, п=1, 2, .... и почти наверное, то почти наверное
У. м. о. случайной величины Xотносительно случайной величины Yопределяется как У. м. о. Xотносительно -алгебры, порожденной У.
Частным случаем У. м. о. является условная вероятность.

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [2] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [3] Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969; [4] Лоэв М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962.
Н. Г. Ушаков.