Функция вероятности

Фу́нкция вероя́тности в теории вероятностей — наиболее часто используемый способ охарактеризовать дискретное распределение.

Определения

Функция произвольной вероятности

Пусть $\mathbb{P}$ является вероятностной мерой на $\mathbb{R}^n$, то есть определено вероятностное пространство $\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\right)$, где $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ обозначает борелевскую σ-алгебру на $\mathbb{R}^n$.

Определение 1. Вероятностная мера называется дискретной, если её носитель $\mathbb{P}$ не более, чем счётен, то есть существует не более, чем счётное подмножество $X \subset \mathbb{R}^n$ такое, что $\mathbb{P}(X) = 1$.

Определение 2. Функция $p:\mathbb{R}^n \to [0,1]$, определённая следующим образом:

$p(x) = \left\{ \begin{matrix} \mathbb{P}(\{x\}), & x\in X \\ 0, & x \in \mathbb{R}^n \setminus X \end{matrix} \right.$

называется функцией вероятности $\mathbb{P}$.

Функция вероятности случайной величины

Определение 3. Пусть $X:\Omega \to \mathbb{R}^n$ — случайная величина (случайный вектор). Тогда она индуцирует вероятностную меру $\mathbb{P}^X$ на $\mathbb{R}^n$, называемую распределением. Случайная величина называется дискретной, если её распределение дискретно. Функция вероятности $p_X$ случайной величины $X$ имеет вид:

$p_X(x) = \mathbb{P}^X(\{x\}) \equiv \mathbb{P}(X=x)$.

или короче

$p_X(x_i) = \mathbb{P}(X=x_i) = p_i, \; i \in \mathbb{N}$,

где $X = \{x_1,x_2, x_3,\ldots \} \subset{\mathbb{R}^n}$.

Свойства функции вероятности

Из свойств вероятности очевидно следует:

• $p_X(x_i) \geqslant 0,\; \forall i \in \mathbb{N}$.
• $\sum\limits_{i=1}^{\infty}p_X(x_i) = 1$.
• Функция распределения случайной величины может быть выражена через её функцию вероятности:

$F_X(x) = \sum\limits_{x' \leqslant x}p_X(x')$.

• Если $X = (X_1,X_2)$, то

$\sum\limits_{x_2}p_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = p_{X_1}(x_1)$,

$\sum\limits_{x_1}p_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = p_{X_2}(x_2)$,

где $p_{X_1,X_2}$ — функция вероятности вектора $(X_1,X_2)$, а $p_{X_i}$ — функция вероятности величины $X_i,\; i=1,2$. Это свойство очевидно обобщается для случайных векторов размерности $n>2$.

• Математическое ожидание функции от дискретной величины, когда оно существует, имеет вид:

$\mathbb{E}[g(X)] = \sum\limits_{i=1}^n g(x_i)\, p_i$,

при условии что ряд в правой части абсолютно сходится.

Примеры дискретных распределений

• Распределение Бернулли;
• Биномиальное распределение;
• Геометрическое распределение;
• Гипергеометрическое распределение;
• Логарифмическое распределение;
• Отрицательное биномиальное распределение;
• Распределение Пуассона;
• Дискретное равномерное распределение;
• Мультиномиальное распределение.

См. также

• Плотность вероятности.