Факторпространство

Пусть на множестве $X$ задано отношение эквивалентности $\sim$. Тогда множество всех классов эквивалентности называется фактор-множеством и обозначается $X/\!\sim$. Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией.

Отображение из $X$ в множество классов эквивалентности $X/\!\sim$ называется фактор-отображением.

Факторпространство по подпространству

Часто отношение эквивалентности вводят следующим образом. Пусть $X$ — линейное пространство, а $L$ — некоторое линейное подпространство. Тогда два элемента $x,\;y\in X$ таких, что $x-y\in L$, называются эквивалентными. Это обозначается $x\,\overset{L}{\sim}\,y$. Получаемое в результате факторизации пространство $X/\,\overset{L}{\sim}$ называют факторпространством по подпространству $L$. Если $X$ разлагается в прямую сумму $X=L\oplus M$, то существует изоморфизм из $M$ в $X/\,\overset{L}{\sim}$. Если $X$ — конечномерное пространство, то факторпространство $X/\,\overset{L}{\sim}$ также является конечномерным и $\dim X/\,\overset{L}{\sim}=\dim X-\dim L$.

Примеры

Факторизацию множества разумно применять для получения нормированных пространств из полунормированных, пространств со скалярным произведением из пространств с почти скалярным произведением и пр. Для этого вводится соответственно норма класса, равная норме произвольного его элемента, и скалярное произведение классов как скалярное произведение произвольных элементов классов. В свою очередь отношение эквивалентности вводится следующим образом (например для образования нормированного факторпространства): вводится подмножество исходного полунормированного пространства, состоящее из элементов с нулевой полунормой (кстати, оно линейно, то есть является подпространством) и считается, что два элемента эквивалентны, если разность их принадлежит этому самому подпространству.

Если для факторизации линейного пространства вводится некоторое его подпространство и считается, что если разность двух элементов исходного пространства принадлежит этому подпространству, то эти элементы эквивалентны, то фактормножество является линейным пространством и называется факторпространством.

Примеры

• Проективную плоскость $\R P^2$ можно определить как факторпространство двумерной сферы, задав отношение эквивалентности $(x,\;y,\;z)\sim(-x,\;-y,\;-z)$.
• Бутылку Клейна можно представить как факторпространство цилиндра $S^1\times[0,\;1]$ по отношению эквивалентности $(\varphi,\;0)\sim(-\varphi,\;1)$ ($\varphi\in[-\pi,\;\pi]$ — угловая координата на окружности).

См. также

• Факторгруппа