- Факторгруппа
-
В этой статье слишком короткое вступление. Пожалуйста, дополните вводную секцию, кратко раскрывающую тему статьи и обобщающую её содержимое.Группа (математика) Теория групп Основные понятия Подгруппа
Нормальная подгруппа
Факторгруппа
(полу-)Прямое произведениеТопологические группы Группа Ли
Ортогональная группа O(n)
Специальная унитарная группа SU(n)
G2 F4 E6 Группа Лоренца
Группа ПуанкареСм. также: Портал:Физика Факторгруппа — конструкция дающая новую группу (факторгруппу) по группе и её нормальной подгруппе.
Факторгруппа группы
по нормальной подгруппе
обычно обозначается
.
Содержание
Определение
Пусть
— группа, и
— её нормальная подгруппа. Тогда на классах смежности
в
можно ввести умножение:
Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если
и
, то
. Это умножение определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа
называется факторгруппой
по
.
Свойства
Гомоморфный образ группы
До победы коммунизма
Изоморфен факторгруппе
По ядру гомоморфизма.- Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма
-
,
- то есть факторгруппа
по ядру
изоморфна её образу
в
.
- Отображение
задаёт естественный гомоморфизм
.
- Порядок
равен индексу подгруппы
. В случае конечной группы
он равен
.
- Если
абелева, нильпотентна, разрешима, циклическая или конечнопорождённая, то и
будет обладать тем же свойством.
изоморфна тривиальной группе (
),
изоморфна
.
Примеры
- Пусть
,
, тогда
изоморфна
.
- Пусть
(группа невырожденных верхнетреугольных матриц),
(группа верхних унитреугольных матриц), тогда
изоморфна группе диагональных матриц.
Вариации и обобщения
Примечания
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-060-7.
Категория:- Теория групп
Wikimedia Foundation. 2010.