АВТОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ

мероморфная функция нескольких комплексных переменных, инвариантная относительно некоторой дискретной группы Г аналитич. реобразований данного комплексного многообразия М:

Часто под А. ф. понимают лишь функции, определенные в ограниченной связной области D n -мерного комплексного пространства , инвариантные относительно дискретной группы Г автоморфизмов этой области.

Факторпространство может быть наделено комплексной структурой и А. ф. суть мероморфные функции на X. Подавляющее большинство изученных случаев относится к ситуации, когда пространство Xимеет компактификацию В определение А. ф. естественно включается тогда требование ее продолжимости на все пространство Xв виде мероморфной функции. Если (т. е. ограниченная связная область), то это условие необходимо требовать лишь при (если или компактно, условие выполняется автоматически). Легко проверяется, что А. ф. образуют поле К(Г), изучение к-рого составляет одну из основных задач теории А. ф.

Наиболее подробно исследованы А. ф. одного переменного. Основы их теории заложены в 19 в. Ф. Клейном (F. Klein [1]) и А. Пуанкаре (Н. Poincare [2]). В качестве многообразия Мздесь обычно рассматривают односвязную область. Различаются три случая: М= (комплексная проективная прямая, или сфера Римана), (верхняя полуплоскость В первом случае дискретные группы конечны, кривые суть алгебраич. кривые рода o (см. Род кривой).и, следовательно, А. ф. образуют поле рациональных функций. Примерами А. ф. в случае M= С служат периодич. функции (так, функция инвариантна относительно группы сдвигов и, в частности, эллиптич. функции. Для последних кривая компактна и является эллиптич. кривой. Поле в этом случае будет полем всех алгебраич. функций на Наконец, для и дискретных групп Г таких, что компактно или имеет конечный объем (в метрике Пуанкаре), - алгебраич. кривая, а - также поле всех алгебраич. функций на Род gэтой кривой можно определить, построив для группы Г фундаментальную область в виде многоугольника на верхней полуплоскости Н(рассматриваемой как плоскость Лобачевского). Основной способ построения А. ф. в этой ситуации состоит в рассмотрении отношения двух автоморфных форм одинакового достаточно большого веса. Этот способ принадлежит А. Пуанкаре, к-рый доказал с его помощью приведенные выше результаты о строении полей А. ф. (см. [2], [3], [4]). Аналогом этой конструкции для эллиптич. функций является представление их в виде отношения тета-функций. С помощью теории униформизации можно показать, что таким образом получаются все поля алгебраич. функций от одной переменной [3].

Эти результаты, полученные еще в 19 в., дают полное описание полей А. ф. для n=1 и таких групп Г, что пространство имеет конечный объем. Случай групп Г с бесконечным объемом пространства (клейновы группы) гораздо сложнее и интенсивно изучается вплоть до настоящего времени (см. [5], [6]).

В 20 в. основное внимание в теории А. ф. уделяется функциям нескольких переменных. Пожалуй, единственным примером А. ф. от я переменных, детально изученным в 19 в., являются абелевы функции, связанные с абелевыми многообразиями подобно тому, как связаны эллиптич. функции с эллиптич. кривыми [1], [7]. Первым примером А. ф. ппеременных в ограниченной области Dявились модулярные функции Зигеля [7] (см. Модулярная группа). Их область определения представляет собой n-мерное обобщение верхней полуплоскости Ни является одним из основных примеров ограниченной симметрич. области. К. Зигелю (С. Siegel) принадлежат также первые общие результаты о произвольных А. ф. в ограниченной области D. Обобщая упомянутую выше конструкцию Пуанкаре построения А. ф., он показал, что в поле К(Г).всегда существует по крайней мере палгебраически независимых функций.

В дальнейшем основные усилия были направлены на выяснение, для каких областей Dи групп Г выполняется следующее утверждение, получившее название теоремы об алгебраических соотношениях. Если - алгебраически независимые функции, то поле К(Г) есть конечное алгебраич. расширение поля рациональных функций

Теорема эта доказана к настоящему времени (1977) в следующих случаях: 1) если факторпространство D/ Гкомпактно [7]; 2) если группа Г псевдовогнута [8]; 3) если D- симметрическая область, а Г - арифметическая группа. Псевдовогнутая группа определяется следующим образом. Пусть X - подобласть области D, содержащаяся в ней вместе с замыканием. Тогда точка границы наз. псевдовогнутой, если для любой открытой окрестности точки и для любой регулярной в Uфункции существует точка такая, что Группа Г наз. псевдовогнутой, если существует подобласть такая, что каждая граничная точка переводится преобразованием из Г либо во внутреннюю точку, принадлежащую X, либо в псевдовогнутую точку границы

Вопрос о природе и свойствах алгебраич. многообразий, возникающих в теории А. ф. ппеременных, в отличие от случая одной переменной, исследован мало.

Важные обобщения понятия А. ф. - автоморфные формы, тета-функции и нек-рые др. Все они - частные случаи следующей общей конструкции. Рассматривается расслоение L на Ми действие на нем группы Г. Тогда можно определить сечения расслоения L, инвариантные относительно Г. А. ф. получаются, когда расслоение Lи действие группы Г тривиальны.

При изучении А. ф. выявилась важная роль группы автоморфизмов области D. Именно на этом пути понятия и методы теории А. ф. были перенесены в теорию алгебраических групп, где они играют существенную роль при описании бесконечномерных представлений (см. [10]).

С самого начала своего развития теория А. ф. была богата связями с другими разделами математики. Прежде всего сюда относится алгебраич. геометрия. Помимо упомянутых выше результатов, методы А. ф. важны для исследования многообразий модулей таких объектов, как алгебраич. кривые и абелевы многообразия. Существенное значение имеют А. ф. и для теории чисел. В настоящее время они служат единственным инструментом для изучения дзета-функций алгебраич. многообразий (см. [11]). Другое весьма многообещающее теоретико-числовое направление в теории А. ф. - исследование р-адических А. ф. и автоморфных форм (см. [9]). Наконец, следует упомянуть о применении А. ф. при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной области [12], или о построении решений алгебраич. уравнений выше 4-й степени посредством автоморфных функций.