ХАББАРДА МОДЕЛЬ

ХАББАРДА МОДЕЛЬ

- одна из фундам. моделей для описания систем сильно взаимодействующих электронов в кристалле. Модель была предложена в 1963-65 Дж. Хаббардом [1 ] и получила широкое развитие в последующие годы. X. м. является осн. моделью для описания зонного магнетизма в металлах, фазового перехода металл- диэлектрик и разл. аспектов взаимосвязи магн. и электрич. свойств твёрдых тел. Достоинствами модели являются её простота и физ. содержательность.

Гамильтониан. В X. м. рассматриваются невырожденные по орбитальному состоянию электроны, движущиеся по кристаллич. решётке посредством квантовых переходов (перескоков) с узла на узел и обладающие локальным кулоновским взаимодействием на одном узле. Т. о., гамильтониан модели Н содержит всего два параметра: матричный элемент перехода t и параметр кулоновско-го отталкивания U; в представлении вторичного квантования

где c⁺_is(c_is)- ферми-оператор рождения (уничтожения) электрона на узле i со спином s, принимающим два значe-ния: и ; n_is = c⁺_isc_is- оператор числа электронов на узле с заданным спином.

Первый член в H описывает электронную зону со спектром

(для кубич. решётки в пространстве размерностью d), причём параметр решётки положен равным единице. Вместо t можно взять др. величину - ширину зоны W=2zt, где z-число ближайших соседей. В двух предельных случаях физ. картина, описываемая гамильтонианом (1), относительно проста. При U<<W система представляет фер-ми-жидкость (см. Квантовая жидкость), так что затухание квазичастиц (электронов) на поверхности Ферми равно нулю. В системе возможно магн. упорядочение (см. Магнитная атомная структура) - ферромагнитное (F )или типа спиновой плотности волны (LSW), хотя локализованные магн. моменты отсутствуют. В этих условиях магн. свойства модели хорошо описываются динамической восприимчивостью в приближении хаотических фаз (RPA). Др. предел U>>W соответствует сильно коррелированной системе, в к-рой одночастичное описание (имеющее место для ферми-жидкости) невозможно, поскольку важными становятся многоэлектронные эффекты (корреляции). В этой ситуации можно воспользоваться малым параметром W/U<<1и перейти от общего гамильтониана (1) к эфф. гамильтониану т. н. t - J -модели:

к-рый описывает движение скоррелированных электронов по решётке: они совершают прыжки с узла на соседний узел, но так, чтобы на одном узле не было двух электронов [эти состояния запрещаются факторами (1 - n_is) в первом члене]; при этом возникает эфф. антиферромагн. обменное взаимодействие электронов на соседних узлах с обменным интегралом J=2t²/U.

Кроме двух параметров (t, U или t, J)X. м. характеризуется ещё одним параметром - электронной концентрацией п (число электронов на один узел решётки). В этой невырожденной модели п меняется в пределах 0<n<2, причём поведение системы существенно зависит от величины п. Из (3) видно, что при половинном заполнении зоны (n= 1) гамильтониан t-J -модели сводится к гамильтониану Гейзенберга модели с атомным локализованным спином S= ¹/₂, так что основное состояние системы должно быть антиферромагнитным с волновым вектором Q = (p, p, p). За счёт взаимодействия электронных состояний с антиферромагн. порядком при п =1 должна открываться щель на поверхности Ферми, так что в этих условиях система должна быть диэлектриком. При отклонении от половинного заполнения в системе появляется дырочная проводимость, а антиферромагн. порядок ослабляется за счёт движения дырок, так что при нек-рой концентрации дырок антиферромагнетизм исчезает; при последующем уменьшении п сильно коррелированная система переходит в режим ферми-жидкости. Т. о., из рассмотрения двух предельных случаев ясно, что при изменении п должен существовать кроссовер от ферми-жидкостного поведения в фазу диэлектрич. состояния и одновременно кроссовер от коллективизированного магнетизма к магнетизму с локализованными магн. моментами. При фиксированном п аналогичный кроссовер должен возникать с ростом U. Эти наиб. интересные явления появляются в области промежуточных значений U~ W, где возмущений теория не работает, поэтому необходимо использовать при анализе X. м. другие приближённые подходы, не основанные на разложениях по параметрам U/W или W/U. Ниже рассматривается ряд таких подходов [2 ].

Квазичастичный спектр при наличии сильной корреляции. Первые важные результаты о поведении систем с большим UW были получены Хаббардом с помощью метода расцепления ур-ний движения для двухвременных Грина функций. Простейшее расцепление (известное в литературе как приближение "Хаббард-1") основано на том, что в гамильтониане (1) кулоновский член диагоналей в узельном представлении, поэтому корреляции на одном узле могут быть учтены точно; оно приводит к следующему спектру квазичастичных состояний с импульсом k и спином s:

Т. о., при наличии кулоновского отталкивания на узле вместо одной исходной зоны (2) возникают две т. н. х а б -б а р д о в с к и е п о д з о н ы, зависящие от числа электронов n_s со спином -s, причём расстояние между этими подзонами порядка U. Результат (4) носит интерполяц. характер между двумя пределами: свободных электронов (U=0) и атомным пределом (t = 0). В последнем случае возникают два атомных уровня E₀₁=0 и E₀₂ = U, соответствующих состояниям с одним и двумя электронами на узле. Оказывается, что ниж. подзона соответствует одночастичным электронным состояниям, а верхняя - двухчастичным, в к-рых на одном узле находятся два электрона. Расстояние между этими подзонами по порядку величины соответствует разности энергии в атомных состояниях, равной U. Этот вывод Хаббарда соответствует картине расщепления спектра в Шубина - Вонсовского модели, являющейся предшественницей X. м. Приближение "Хаббард-1" страдает рядом недостатков, т. к. оно даёт расщепление зоны при любом сколько угодно малом U, а также нарушает анали-тич. свойства электронной ф-ции Грина и необходимые правила сумм. Тем не менее сам факт корреляц. расщепления зоны чрезвычайно важен. Для t - J -модели (4) переходит в следующую ф-лу для энергии в ниж. подзоне (верх. подзону следует отбросить) в парамагн. фазе:

Эта ф-ла описывает корреляц. сужение зоны за счёт фактора 1-n/2, зависящего от концентрации электронов.

Позднее Хаббард улучшил расцепление и пришёл к физически более корректному результату, известному как приближение "Хаббард-3", основанному на использовании "сплавовой аналогии". Если кулоновский член в (1) взять в среднего поля приближении, т. е. заменить его на , то это будет означать, что электрон со спином s взаимодействует с локальным полем величины U<n_is>, к-рое на отд. узле принимает значение либо 0, либо U. Задача становится тогда эквивалентной задаче о движении электрона в двухкомпонентном сплаве, и для неё может быть использовано приближение типа когерентного потенциала ( СРА), хорошо известное в теории сплавов.

Рис. 1. Изменение плотности состояний r(w) с ростом параметра U (направление роста указано стрелкой) в приближении "Хаббард-3" для простой кубической решётки.

Рассчитанная в приближении "Хаббард-3" плотность состояний r(w) изменяет свою топологию с ростом U (рис. 1). При достижении нек-рого критич. значения U_cW имеет место расщепление единой зоны на две подзоны. При половинном заполнении это происходит точно в центре исходной зоны, поэтому в точке U=U_c имеет место фазовый переход металл - диэлектрик, предсказанный Моттом. При дальнейшем увеличении U ширина запрещённой зоны растёт по закону (U- U_c )^3/2. В приближении "Хаббард-3" корреляц. расщепление зоны происходит только при достаточно больших значениях U, а квазичастицы имеют конечное затухание, причём аналитич. свойства ф-ции Грина не нарушаются. Однако выяснилось, что при всех U затухание отлично от нуля также и на поверхности Ферми, т. е. на ней нет скачка в распределении частиц по импульсам, что означает отсутствие и самой поверхности Ферми. Др. словами, приближение "Хаббард-3" описывает неферми-жидкостное поведение системы во всей области изменения параметров; как и в приближении "Хаббард-1", здесь нет предельного перехода к малым U. Кроме того, в приближении "Хаббард-3" теория не самосогласована полностью и результат вычисления термоди-намич. величин зависит от способа вычисления. Эти недостатки приближения связаны с неконтролируемыми расцеплениями ф-ций Грина. Большой прогресс в понимании сильно коррелированных систем, описываемых X. м., был достигнут при рассмотрении предела d

Предел бесконечной размерности пространства. В теориях систем мн. тел предел d. соответствует приближению ср. поля, к-рое является асимптотически точным в этом пределе. Прекрасным примером служит Изинга модель, в к-рой доказано, что ур-ние молекулярного поля для спонтанного момента является точным в пределе d. или z. Для X. м. формулировка этого предела оказывается нетривиальной; Метцнером и Фолхардтом [3 ] показано, что в этом пределе все вычисления сильно упрощаются, при этом сохраняются все физ. свойства модели. Эти упрощения в пределе d. обусловлены тем, что собственная энергия электрона становится диагональной в узельном представлении:

т. е. S не зависит от квазиимпульса, а является только ф-цией частоты. Одновременно оказывается, что во всех вершинных частях диаграммной техники можно пренебречь законом сохранения квазиимпульса, т. е. заменить соответствующую d-функцию на 1. При выполнении предела d. для X. м. необходимо соответствующим образом масштабировать параметры гамильтониана:

Тогда спектру (2) в пределе d. соответствует плотность состояний

а ср. квадрат энергии ²(k )в спектре (8) становится конечным в пределе d. Кроме того, ф-ции Грина на решётке

имеют асимптотику ~(1/)^|i-j|, где |i- j|- мин. число шагов по ближайшим соседям (в единицах параметра решётки) между узлами i и j В частности, для ближайших соседей G⁰_ij~1/. Т. о., в пределе d. все Ван-Хова особенности в плотности состояний сглаживаются.

Благодаря локальному характеру собственной энергии в пределе d.X. м. сводится к однопримесной задаче в решётке [4-7] со специально подобранными двумя ф-циями энергии S(w) и (w), характеризующими эфф. однородную среду, к-рые в случае магн. упорядочения зависят ещё и от спина. S(w) играет роль нек-рого эфф. поля, действующего на электрон со стороны всех др. электронов, а (w) является затравочным линейным пропага-тором для G_ii(w). Т. о., имеются два выражения для G_ii(w):

приводящие к ур-нию, связывающему S(w) и (w). С др. стороны, величина G_ii(w) как ф-ция Грина однопримесной модели может быть найдена численно (напр., с помощью квантового Монте-Карло метода). В этом смысле ур-ния (10) и (11) представляют точное решение X. м. в пределе d, выражая результат через точное решение однопримесной модели. Имеется и др. способ исследовать X. м. в пределе d.[4] на основе известных выражений для затравочной ф-ции Грина (w) однопримесной X. м. Разл. характер поведения (w) в зависимости от соотношения между параметрами однопримесной модели определяет возможные режимы для точного однопримесного пропага-тора G_ii(w), а следовательно, и характер решения для Х. м. Плотность состояний r(w) даётся ф-лой

возможная структура r(w) определяется характером ре-шения однопримесной задачи, т. е. поведением ф-ции Гри-на G_ii(w) в модели Андерсона. Затравочная ф-ция Грина G_ii(w) для этой модели содержит два независимых парамет-ра-атомный уровень d -состояния E_d и ширину этого уровня Д. В зависимости от соотношения между ними плотность состояний однопримесной модели имеет двух-пиковую структуру (при E_d<<D), один широкий пик (при E_d>>D) или узкий пик, соответствующий электронному резонансу в Кондо эффекте, наряду с одним или двумя широкими сателлитами (при |E_d|~ D). Этим трём режимам однопримесной модели соответствуют три возможных режима X. м. вблизи половинного заполнения: расщеплённый на две подзоны спектр, нерасщеплённый спектр и спектр с резонансом Кондо на поверхности Ферми. Подобный перенос свойств однопримесной модели Андерсона на X. м. хорошо подтверждается численными расчётами. На рис. 2 показана эволюция плотности состояний X. м. с увеличением параметра U. При U3 появляется щель в спектре, отвечающая фазовому переходу. В отличие от результатов приближения "Хаббард-3" (рис. 1), появляется узкий квазичастичный пик на поверхности Ферми в металлич. фазе, соответствующий кон-до-резонансу, с шириной порядка темп-ры Кондо T_K. Высота этого центр. пика не меняется с ростом U вплоть до критич. значения U_c, когда он исчезает скачком и открывается щель на поверхности Ферми. При U>U_c в диэлек-трич. фазе возникает антиферромагн. упорядочение с волновым вектором Q и локализованными магн. моментами. Металлич. фаза имеет ферми-жидкостное поведение с тяжёлыми фермионами, масса к-рых возрастает по мере приближения к границам диэлектрич. фазы. Ожидаемая фазовая диаграмма при половинном заполнении показана на рис. 3, где заштрихована грубо оценённая переходная область от металла к изолятору, в к-рой нарушается ферми-жидкостная картина, т. е. исчезает скачок в n_K на поверхности Ферми.

Рис. 2. Плотность состояний r(w) для Хаббарда модели при половинном заполнении и Т=0в . пределе d. для значений U (сверху вниз): 1; 2.3; 2.7; 3; 4 [5].

Рис. 3. Фазовая диаграмма при п=1и d. на плоскости ( Т, U)[6].

При отклонении от половинного заполнения диэлектрич. фаза быстро заменяется металлической. В частности, на поверхности Ферми при низких темп-pax возникают узкие резонансы, соответствующие кондовской экранировке локализованных магн. моментов, и при n<0,8 система ведёт себя как обычная ферми-жидкость. Возможная фазовая диаграмма на плоскости (n, U )показана на рис. 4.

Рис. 4. Фазовая диаграмма при Т=0на плоскости ( п,U)[7].

Сплошная кривая отделяет ферми-жидкостную область от неферми-жидкостной, к-рая подразделяется на диэлектрич. фазу (при больших U )и металлич. фазу (при меньших U). Разумеется, представленные на рис. 3, 4 фазовые диаграммы достаточно схематичны и должны уточняться (даже в пределе d).

Подчеркнём, что ур-ния (10) и. (11) являются точными ур-ниями для X. м. в пределе d, хотя для получения их решения необходимо численно решить вспомогат. задачу об однопримесной модели Андерсона, к-рая соответствует точной теории ср. поля для X. м. Т. о., известны (по крайней мере, в принципе) точные решения X. м. для двух случаев: d=1 (Либ и By [8]; подробнее см. в ст. Точно решаемые модели в к в а н т о в о й т е о р и и п о л я и в с т а т и с т и ч е с к о й ф и з и к е) и d. Возникает вопрос, насколько близко поведение модели при d=3 к случаю d=. Полного ответа на него ещё нет, однако накопленный опыт исследования в пределе d. позволяет сделать вывод о том, что эфф. размерность реального пространства можно считать весьма высокой. Отд. сравнения результатов расчётов для d=. и d=3подтверждают это. Существуют методы вычисления поправок по параметру 1 /d, дающие хорошее согласие с численными расчётами для трёхмерного случая [9].

Движение дырки в антиферромагнитной матрице. В случае половинного заполнения при конечных UX. м. сводится к гейзенберговскому антиферромагнетику и для простой кубич. решётки осн. состояние является двухподрешёточ-ным (неелевским) антиферромагнетиком. Наиб. интерес представляет состояние с одной дыркой в такой системе, причём движение дырки и антиферромагн. состояние самосогласованно связаны: дырка при своём движении деформирует антиферромагн. окружение, что, в свою очередь, влияет на её движение. Простейший анализ движения дырки в неелевском антиферромагнетике даёт изинговское приближение, когда обменная энергия двух спинов ~(S₁S₂) заменяется на S^z₁S^z₂, что означает пренебрежение поперечными компонентами во взаимодействии спинов.

При движении дырки в строго неелевском антиферромагнетике вдоль её траектории неизбежно возникает неправильное расположение спинов (рис. 5), требующее затрат энергии ~Jl где l -длина траектории Вследствие этого движение дырки становится энергетически невыгодным и она автолокализуется. Центром автолокализации дырки (или лишнего электрона) является узел, занятый дыркой, при к-ром сохраняется идеальное антиферромагн. расположение спинов (рис. 5, а). Такое состояние является аналогом трёхмерного осциллятора, к-рый формируется частицей, движущейся не в квадратичном, как обычно, а в линейном потенциале [10]. В таком потенциале возникает связанное состояние с энергией ~(J/t)^2/3t, отсчитанной от дна зоны. Квазиосцилляторное состояние существенно отличается от поляронного (см. Полярон), в к-ром деформация антиферромагн. структуры переносится по решётке дыркой (или электроном), пусть даже с достаточно большой эфф. массой. В квазиосцилляторном состоянии возникающая локальная деформация магн. структуры не переносится по решётке, если не включать поперечных компонент спинов гейзенберговского обменного гамильтониана. Последние разрешают процессы спонтанного переворота спинов, благодаря к-рым может релаксировать созданная деформация структуры и, следовательно, становится возможным движение дырки. Т. о., в изинговском пределе трансляц. движение дырки невозможно (эфф. масса равна бесконечности), спектральная плотность дырки A (k,w) с нек-рым фиксированным волновым вектором k не имеет квазичастичного пика; соответствующая дырке спектральная плотность имеет некогерентный характер.

Рис. 5. Движение дырки в антиферромагнитной матрице: а - начальное состояние; б- конечное состояние. В ре зультате перемещения дырки на длину l возникает область неправильно расположенных спинов ("струна") такой же длины.

В описанную картину квазиосциллятора следует внести поправку, связанную с тем, что если дырка совершит петлю, перескакивая по соседним узлам, образующим квадратную ячейку двумерной решётки, причём обойдёт её полтора раза, то она окажется на противоположном конце диагонали квадрата, при этом в антиферромагн. решётке не произойдёт никаких изменений. Это означает, что дырка может передвигаться по магн. решётке без затрат энергии на её деформацию. Вклад подобного типа траекторий (п е т е л ь Т р у г м а н а) приводит к конечной подвижности дырки даже в изинговском пределе.

Учёт взаимодействия поперечных компонент спина также приводит к конечной подвижности дырок. Эфф. масса дырки определяется процессом рассеяния на спиновых флук-туаииях (спиновых волнах). При низких темп-pax возможно испускание спиновых волн только с низкими энергиями. Если плотность состояний в спектре низкоэнергетич. спиновых возбуждений мала, то можно ожидать хорошо определённые когерентные состояния дырок как квазичастиц вблизи дна дырочного спектра, к-рые имеют конечное, но не слишком малое время жизни. При более высоких энергиях рассеяние усиливается и квазичастичный пик должен размываться.

Численные расчёты для малых кластеров подтвердили описанную картину движения дырки в квантовом антиферромагнетике. Неожиданным оказалось лишь хорошее количеств. совпадение результатов с картиной квазиосциллятора в изинговском пределе, как если бы поперечные компоненты спинов были эффективно выключены из динамики дырки. Объяснение этому парадоксу даёт рассмотрение t-J -модели, описывающей квантовый антиферромагнетик в пределе бесконечной размерности d=, когда вклады в динамику дырки от поперечных компонент исчезают. При учёте поправок ~1/d получается результат теории Бринкмана - Раиса [11], использовавших приближение, в к-ром учитывались только траектории дырки, возвращающие её в исходную точку, т. е. состоящие из путей, проходимых дыркой туда и обратно. Все др. траектории (напр., типа замкнутых петель) дают вклад более высокого порядка, чем 1/d. Результаты численных расчётов, проведённых на двумерных кластерах, совпадают с результатами теории с большой размерностью пространства, учитывающей поправки 1/d.

Теорема Нагаока. Ферромагнетизм. Наряду с двумя известными точными решениями X. м. для d=1 и d= большое значение имеет точное решение в пределе U, известное как т е о р е м а Н а г а о к а [12]. Оно сводится к утверждению: осн. состояние X. м. в пределе U с одной дыркой при половинном заполнении - насыщенный ферромагнетизм, тогда как при строго половинном заполнении ( п=1) осн. состояние антиферромагнитно. Теорема Нагаока дала основание ожидать, что при конечной концентрации дырок осн. состояние X. м. будет ферромагнитным при достаточно больших U; однако строго это доказано не было. Более того, численные расчёты с двумя дырками в пределе U. показали неустойчивость насыщенного ферромагн. состояния. Кроме того, строго показано, что насыщенный ферромагнетизм сохраняется при макроскопич. числе дырок ~N^a(0<a< 1), но при нулевой концентрации их в термодинамич. пределе. Вопрос об осн. состоянии системы в пределе U. при конечной концентрации дырок остаётся открытым. Очень вероятно, что осн. состояние будет ферромагнитным, но без насыщенного спонтанного момента. Во всяком случае, разл. ва-риац. методы, включая и метод Гутцвиллера (см. ниже), приводят к ферромагнетизму при достаточно больших U. Др. методы, напр. высокотемпературные разложения или разд. варианты приближений типа ср. поля, приводят к ферромагн. области на плоскости (U, п )при достаточно больших U и электронных концентрациях, близких к п=1. Значения критич. концентрации, при к-рой ферромагнетизм исчезает (в пределе U), сильно расходятся друг с другом, так что проблема ферромагн. состояния в X. м. требует дополнит. исследования.

Вариационные методы. Для промежуточных значений U W эффективен вариац. метод с заданной пробной волновой ф-цией Y₀ Гутцвиллер [13] предложил выразить Y₀ в виде

где |0> - "вакуумная" волновая ф-ция; D_i=; D == -оператор числа двоек на решётке; 0<g<1-вариац. параметр, к-рый глобальным образом учитывает уменьшение вероятности состояний с большим числом двоек. Даже столь простой способ учёта корреляц. эффектов даёт хорошие результаты, особенно при расчёте энергии осн. состояния.

Выбор "вакуума" в (13) определяется типом осн. состояния. Для парамагн. фазы

где |uaс> - волновая ф-ция полного вакуума, а для осн. состояния со спонтанным нарушением симметрии |0> выбирается как волновая ф-ция в приближении Хартри - Фока. Напр., для антиферромагн. состояния с волновым вектором Q

где u_k и u_k - параметры Боголюбова канонических преобразований.

При вычислении энергии осн. состояния с помощью волновой ф-ции (13) Гутцвиллер использовал приближение, при к-ром подсчёт числа спиновых конфигураций производится классич. методом с помощью комбинаторных приёмов; оно оказалось точным в пределе d. Расчёт E₀ с волновой ф-цией (13) в пределе d. даёт хорошее согласие с результатами численных расчётов по квантовому методу Монте-Карло для d=2и d=3, так что поправки порядка 1/d к пределу d=. являются в этом случае очень малыми и энергия осн. состояния слабо чувствительна к размерности пространства. Сравнение энергий парамагн. ( Р), ферромагн. (F )и антиферромагн. (AF )фаз приводит к магн. фазовой диаграмме на плоскости (U, п )(рис. 6).

Рис.6. Магнитная фазовая диаграмма для d=. при T=0, полученная вариационным методом [14].

Эта диаграмма учитывает только однородные фазы; учёт неоднородных состояний изменяет границы фаз, но качеств. характер фазовой диаграммы остаётся прежним.

Операторы Хаббарда и метод вспомогательных бозонов. В условиях сильного кулоновского взаимодействия (U>>W )в качестве нулевого приближения выбирается ку-лоновский член в гамильтониане (1). Тогда задача нулевого приближения сводится к одноузельной и может быть решена точно в базисе локализованных атомных ф-ций |ip>:|i0>, , |i2>, описывающих соответственно состояние без электрона, с одним электроном (со спином вверх или вниз) и с двумя электронами на узле. Переходы между этими состояниями описываются матрицами размерностью 44, соответствующими о п е р а т о р а м Х а бб а р д а

Все элементы такой матрицы равны нулю, кроме одного, стоящего на пересечении р -строки и q -столбца и равного 1. Для них имеют место правило умножения

и условие полноты

Из 16 X -операторов часть является фермиподобными, или f -операторами ( Х^0s, X^s2, Х^s0, X^2s), часть - бозе-подоб-ными, или b -операторами ( Х ^+- ,Х ^-+ , X²⁰, X⁰²), поскольку они меняют число электронов на узле на нечётное и чётное число соответственно; остальные (X⁰⁰, X^ss, X²²)- диагональные. Алгебры f- и b -операторов различны: они удовлетворяют антикоммутаторным и коммутаторным перестановочным соотношениям соответственно

Фермиевские операторы выражаются линейной комбинацией X -операторов f -типа

так что гамильтониан (1) в терминах X -операторов имеет вид

(в первое слагаемое включён член с химическим потенциаломm).

Очевидно, что в этом представлении кулоновский член стал линейным, а кинетический член представляет собой билинейную форму по X -операторам. Это открывает возможность построения регулярной теории возмущений по параметру t/U в форме диаграммной техники с X -операто-рами. Такая техника для X. м. была построена Зайцевым [15], а для t-J -модели - Изюмовым и Летфуловым [16]. В последнем случае было разработано обобщённое приближение хаотических фаз (GRPA), аналогичное RPA для обычных ферми-систем и основанное на суммировании всех петлевых диаграмм. В рамках GRPA вычислена дина-мич. магн. восприимчивость c(q,w), к-рая при изменении электронной концентрации описывает кроссовер от чисто коллективизированного магнетизма к магнетизму с локализованными магн. моментами.

Поскольку алгебра X -операторов и соответствующая диаграммная техника сложны, существуют попытки выразить X -операторы через произведения обычных ферми- и бозе-операторов. Такие представления неоднозначны и составляют т. н. технику в с п о м о г а т е л ь н ы х б о з о н о в (и ф е р м и о н о в); напр., один из возможных вариантов:

где b_i- бозе-, а f_is -ферми-операторы. В данном случае индекс состояния (проекция спина s) приписывается фер-ми-оператору, поэтому бозе-операторы являются вспомогательными; возможны и др. представления (напр., со вспомогат. фермионами). Выражения (22) удовлетворяют перестановочным соотношениям (18) для X -операторов только при дополнит. условии (к о н с т р е й н е):

В технике со вспомогат. бозонами (или фермионами) трудности со сложной алгеброй X -операторов переносятся на необходимость учёта констрейнов. Обычно это делается при вычислении статистич. суммы в виде континуального интеграла (см. Функциональный интеграл), при этом кон-стрейны учитываются с помощью множителей Лагранжа l_i, зависящих от номера узла. Континуальные интегралы вычисляются обычно по методу стационарной фазы, и при нахождении стационарных точек пренебрегают зависимостью l_i, от номера узла i. Такое приближение, когда локальные констрейны заменяют на глобальные (учитывающие связи не на каждом отдельном узле, а в среднем), соответствует нек-рому приближению ср. поля. Возможен и более строгий учёт констрейнов в континуальном интеграле, при к-ром система сильно взаимодействующих электронов заменяется на систему бозонов и фермионов, взаимодействующих эффективно друг с другом через калибровочные поля. Последние и вводятся для того, чтобы удовлетворять необходимые констрейны. На этом пути получены важные физ. результаты для X. м. вблизи половинного заполнения, включая описание магн. фаз, электронного спектра и кинетических свойств системы [17].

Заключение. Значит. всплеск эксперим. и теоретич. исследований по X. м. возник в связи с открытием оксидных высокотемпературных сверхпроводников и идеей Андерсона [18] о том, что этот класс веществ представляет сильно коррелированные электронные системы, находящиеся вблизи магн. упорядочения, к-рые, по-видимому, должны описываться t - J -моделью. В связи с этим акцент был сделан на изучении двумерной X. м. (ввиду особой роли СuО ₂ -плоскости в этих соединениях) вблизи половинного заполнения. При этом были пересмотрены многие ранее полученные без достаточного обоснования физ. результаты, что привело к созданию общей картины поведения X. м. в широком интервале изменения параметров гамильтониана, электронной концентрации и темп-ры. Наиб. общим подходом, объединяющим разл. частные подходы и не связанным с к.-л. малыми параметрами, является рассмотрение предела большой размерности пространства d, причём в пределе d. теория ср. поля становится строгой. При этом X. м. на решётке сводится к решению нек-рой вспомогат. задачи о примесном центре в модели Андерсона. В рамках этого подхода удаётся описать совокупность связанных друг с другом явлений: переход металл- диэлектрик, взаимодействие локализованных магн. моментов, нарушение ферми-жидкостной картины при возрастании параметра кулоновского отталкивания U. Кроме того, нек-рые известные ранее приближения (напр., Гутцвиллера или Бринкмана - Райса) также дают точный результат в пределе d. Этот подход даёт возможность получать систематич. поправки по степеням 1/d и тем самым переходить к реальным системам с d=3или d=2. Оказывается, что предел d даёт весьма удовлетворит. качественное и во мн. случаях даже количественное описание разл. явлений в рамках X. м. при произвольных соотношениях двух осн. параметров U и W. Следует ожидать развития методов разложений по степеням 1/d для описания коллективных возбуждений и транспортных свойств в X. м.

Лит.:1) Hubbard J., Electron correlations in narrow energy bands-3, 4, "Proc. Roy. Soc. A", 1963, v. 276, p. 238; 1964, v. 281, p. 401; 1965, v. 285, p. 541; 2) Изюмов Ю. А., Магнетизм и сверхпроводимость в сильно коррелированной системе, "УФН", 1991, т. 161, №11, с. 1; 1995, т. 165, с. 403; 3) Metzner W., Voll-hardt D., Correlated lattice fermions in D-infmity dimensions, "Phys. Rev. Lett.", 1989, v. 62, p. 324; 4) Georges A., Kotliar G., "Phys. Rev. B", 1992, v. 45, p. 6479; 5) Zhang X. J., Rozenberg M. J., Kotliar G., Mott transition in the d=.Hubbard model at zero temperatur, "Phys. Rev. Lett.", 1993, v. 70, p. 1666; 6) Pruschke I., Cox D. L., Jarrell M., Hubbard model at infinit dimensions. Ther-modynamic and transport properties, "Phys. Rev. B", 1993, v. 47, p. 3553; 7) Edwards D. M., Hertz J. A., The breekdown of Fermi-liquid theory in the Hubbard-Model, "Physica B", 1990, v. 163, p. 527; 8) Lieb E. H., Wu F. Y., Absence of mott transition in an exact solution of short-range 1-Band model in 1-dimension, "Phys. Rev. Lett.", 1968, v. 20, p. 1445; 9) Vollhardt D., High dimensions. A new approach to fermonic latice models, "Physica B", 1991, v. 169, p. 277; 10) Булаевский Л. Н., Нагаев Э. Л., Хомский Д. И., Новый тип автолокализированного состояния электрона проводимости в антиферромагнитном полупроводнике, "ЖЭТФ", 1968, т. 54, с. 1562; 11) Brinkman W. F., Rice T. M., Single-particle excitations in magnetic insulators, "Phys. Rev. B", 1970, v. 2, p. 1324; 12) Nagao-ka Y., Ferromagnetism in a narrow almost half-filled S band, "Phys. Rev.", 1966, v. 147, p. 392; 13) Gutzwiller M. C., Effect of correlation on ferromagnetism of transition metals, "Phys. Rev. Lett.", 1963, v. 10, p. 159; 14) Fazekas P., Menge B., Muller-Hartmann E., [Ground-model of the infinite-dimensional Hubbard-model ], "Z. Phys. B", 1990, v. 78, p. 69; 15) Зайцев Р. О., Обобщенная диаграммная техника и спиновые волны в анизотропном ферромагнетике, "ЖЭТФ", 1975, т. 68, с. 207; его же, Диаграммная техника и газовое приближение в модели Хаббарда, там же, 1976, т. 70, с. 1100; 16) Izyumov Yu. A., Letfulov В. М., A diagram technique for Habbard operators, "J. Phys. Cond. Matt.", 1990, v. 2, p. 8905; 17) Joffe L., Larkin A., Gapless fermions and gaugefields in dielectrics, "Phys. Rev. B", 1989, v. 39, p. 8988; 18) Anderson P. W., The resonating valence bond state in La₂CuO₄ and superconductivity, "Science", 1987, v. 235, p. 1196. Ю. А. Изюмов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.