РЕНОРМАЛИЗАЦИОННАЯ ГРУППА

РЕНОРМАЛИЗАЦИОННАЯ ГРУППА

(ренорм-группа) в теоретической физике - одно-параметрич. группа преобразований, состоящих в из-

менении масштаба (или операции сдвига) одной из физ. величин (аргумента) и в одноврем. изменении функ-цион. зависимости от неё др. физ. величин. Р. г. возникает, когда матем. описание физ. задачи включает выбор частного решения, удовлетворяющего граничному условию при некотором значении аргумента (в нек-рой точке нормировки), а инвариантность относительно преобразований Р. г. отражает независимость физ. содержания от выбора точки нормировки.

Р. г. была впервые обнаружена в квантовой теории поля (КТП) Э. Штюкельбергом (Е. Stueckelberg) и А. Петерманом (A. Peterman) в 1953, где она может быть сформулирована как группа преобразований осн. характеристик (вершинных ф-ций, одетых пропагато-ров, перенормированных констант взаимодействия )и одновременно параметра, фиксирующего масштаб шкалы импульсных переменных (см. ниже). В 1955 H. H. Боголюбов и Д. В. Ширков предложили регулярный метод улучшения результатов квантовополевой теории возмущений - метод Р. г., к-рый был ими эффективно применён к исследованию УФ- и ИК-особенностей в квантовой электродинамике (КЭД).

Наиб. важная область применения метода Р. г. в КТП связана с анализом УФ-асимптотик, т. е. с поведением решений на малых (в микроскопич. смысле) расстояниях. С помощью метода Р. г. в нач. 1970-х гг. обнаружено свойство асимптотической свободы неабеле-вых калибровочных теорий, явившееся теоретич. основой объяснения партонной модели строения адронов (см. Партоны )и приведшее к формулировке совр. теории сильного взаимодействия - квантовой хромодинамики.

Примерно в это же время метод Р. г. был перенесён К. Вильсоном (К. Wilson) из КТП в теорию критических явлений и использован для вычисления характеристик фазовых переходов. Впоследствии этот метод был плодотворно использован в др. разделах теоретич. физики: теории турбулентности, физике полимеров, теории переноса, магн. гидродинамике и нек-рых других, содержащих статистич. описание физ. явлений. Основой для применения методов Р. г. в отд. случаях служит теорема эквивалентности задачи вычисления корреляционных функций данной статистич. модели и задачи вычисления Грина функций нек-рой квантовополевой модели. Первоначально такая эквивалентность была установлена для статистич. моделей равновесной термодинамики, а затем этот результат был распространён на ряд задач стохастич. динамики.

Общий взгляд на природу преобразований Р. г. в различных, далёких друг от друга областях может быть сформулирован с помощью понятия функционального подобия, обобщающего известное в гидро- и газодинамике представление о степенном подобии, или автомодельности. Простейшее преобразование функцией, автомодельности затрагивает две фпз. величины x и g и имеет вид

где t - непрерывный параметр преобразования, изменяющий шкалу переменной х, а - ф-ция, удовлетворяющая функциональному ур-нию

в силу к-рого преобразования R(t )обладают групповым свойством R(t)R( т)= R(t т)и образуют непрерывную группу (Ли группу). В частном случае, когда линейна по второму аргументу, решение ур-ния (1) имеет вид где k- произвольное число, и преобразование R(t )принимает вид преобразования степенного подобия. Поэтому в общем случае преобразование R(t )оказывается функциональным обобщением последнего.

Использование Р. г. в разных областях физики в каждом случае опирается на пару величин типа c и g, для к-рых могут быть сформулированы преобразования функционального подобия. Так, в КЭД (ниже для простоты в безмассовом случае, или, что эквивалентно, в УФ-пределе) такую пару образуют квадрат 4-импуль-са фотона k² и значение электрич. заряда электрона e(m²), измеренное виртуальным фотоном с k² = m², т. е. в точке нормировки m² (в статье принята система единиц, в к-рой ђ = с =1). Ренормгрупповое преобразование безмассовой КЭД может быть записано в виде

где вместо заряда е использована величина a = е²/4p, являющаяся параметром разложения теории возмущений. Ф-ция пропорциональная квадрату эффективного заряда электрона, удовлетворяет функциональному ур-нию (1).

Поскольку группа Ли может быть полностью охарактеризована своим бесконечно малым элементом, вместо функциональных ур-ний можно рассматривать дифференциальные, отвечающие преобразованиям R(t )при t, близких к единице. Такое ур-ние для может быть записано в виде

где ф-ция b(a), представляющая собой генератор группы, определена соотношением

Метод Р. г., о к-ром говорилось выше, состоит в том, что b-функция определяется по ф-ле (3), в правой части к-рой используют для приближённое выражение из теории возмущений.

Напр., в КХД, исходя из результатов однопетлевой теории возмущений (ТВ) в УФ-области для эфф. константы сильного взаимодействия

по ф-ле (3) получают

Используя это выражение в (2) и интегрируя полученное нелинейное дифференц. ур-ние, находят

Это выражение является точным решением дифференц. ур-ния (2) [и группового функционального ур-ния (1)]. В то же время при разложении в ряд по a_s оно даёт соответствие с использованным приближённым выражением Поэтому можно сказать, что метод Р. г. даёт синтез теории возмущений и ренормгрупповой инвариантности. Полученное выражение (4) содержит сумму всех "главных" логарифмич. вкладов вида a_s(a_slnt)ⁿ и может быть использовано вплоть до бесконечно больших значений t. Как можно показать, параметр t здесь следует отождествить с отношением k²/m², где k² - квадрат 4-импульса, а m² - точка нормировки (т. е. его значение, использованное для определения численного значения константы a_s), Поэтому предел t : , отвечает УФ-асимптотике k² : ,. Из ф-лы (4) теперь видно, что в этом пределе что и соответствует асимптотической свободе.

Учёт высших членов теории возмущений при определении генератора b(a) в принципе позволяет систематически улучшать ф-лы вида (4). Так, в КХД осн. рабочей ф-лой для эфф. заряда является ренормгрупповая ф-ла 2-петлевого приближения, к-рая наряду с "главными" вкладами суммирует также вклады вида и в области больших t содержит зависимость от Inlnt, не возникающего в самой теории возмущений.

Ренормгрупповые ф-лы вида (4) для эфф. констант связи электрослабого взаимодействия и сильного взаимодействия явились исходным материалом при формулировке гипотезы великого объединения взаимодействий. Матем. аппарат великого объединения основан на системе связанных дифференц. ур-ний для неск. эфф. констант связи, являющейся обобщением ур-ния (3).

В теории критич. явлений пару ( х, g )образуют размер эффективного спинового блока и константа спиновой связи соседних блоков, в теории полимеров - размер эффективного элементарного звена полимерной цепи и сила взаимодействия между соседними звеньями и т. д.

Метод Р. г., предложенный более 30 лет назад для анализа УФ-поведения, всё шире ныне используется в разл. областях физики.

Лит.:Stueckelberg E., Petermann А., La normalisation des constantes dans la theorie des quanta, "Helv. Phys. Acta", 1953, v. 26, p. 499; Ge11 - Мann М., Lоw F., Quantum electrodynamics at small, "Phys. Rev.", 1954, v. 95, p. 1300; Боголюбов H. H., Ширков Д. В., Приложение ренормализационной группы к улучшению формул теории возмущений, "ДАН СССР", 1955, т. 103, JMS 3, с. 391; их же, Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984, гл. 9; Вильсон К., Когут Дж., Ренормализационная группа и e-разложение, пер. с англ., М., 1975; De DominicisC., Martin P. C., Energy spectra of certain randomly-stirred fluids, "Phys. Rev. A", 1979, v. 19, JMJ 1, p. 419; Аджемян Л. Ц., Васильев А. Н., Письмак Ю. М., Ре-нормгрупповой подход в теории турбулентности, "ТМФ", 1983, т. 57, № 2, с. 268; Ширков Д. В., Ренормгруппа и функциональная автомодельность в различных областях физики, "ТМФ", 1984, т. 60, с. 218; Белокуров В. В., Ширков Д. В., Теория взаимодействий частиц, М., 1986, p 13; Ширков Д. В., Новый метод теоретической физики, в сб.: Наука и человечество. 1987, М., 1987. Д. В. Ширков.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.