ЭПСИЛОН-РАЗЛОЖЕНИЕ

ЭПСИЛОН-РАЗЛОЖЕНИЕ

(e-разложение) - метод приближённого вычисления критических показателей в ста-тистич. физике [или аномальных размерностей в квантовой теории поля (КТП)] с помощью разложения корреляц. ф-ций и др. физ. величин вблизи критической точки (соответственно пропагаторов в пределе асимптотической свободы в КТП) по степеням малого параметра e = 4 - d, где d- размерность конфигурац. пространства (соответственно пространства-времени в КТП). В случае более сложных особенностей термодинамич. величин Э.-р. возможно в окрестности др. значений d (напр., вблизи трикритиче-ской точки возникает Э.-р. по степеням e=3- d). Э.-р. обычно строится в рамках вычислений по методу ренор-мализационной группы (РГ) с использованием теории возмущений и диаграммной техники фейнмановского типа или её температурного обобщения (в т. ч. для спиновых операторов). Нецелые размерности вводятся посредством аналитич. продолжения и обеспечивают регуляризацию соответствующих выражений в КТП. Для получения результатов, имеющих физ. смысл и сопоставимых с результатами экспериментов и численными аппроксимациями, Э.-р. рассматривают как экстраполяц. схему и в конце вычислений обычно полагают e=1. Э.-р. для шести кри-тич. показателей с точностью до 3-го порядка по степеням e см. в [Ма Ш., 1980]. Аналогично наряду с Э.-р. в методе РГ широко используются и др. разложения критич. показателей, напр. разложение по степеням 1/п (п - число компонент вектора квазиспина), в пределе п. эквивалентное т. <н. с ф е р и ч е с к о й м о д е л и (квазинепрерывному аналогу Изинга модели).

Корреляционная длина и параметр обрезания. В основе построения преобразований РГ для описания критических явлений лежит общая физ. идея существенного сокращения эфф. числа степеней свободы макроскопич. физ. системы (аналогично тому, как это имеет место в термо- или гидродинамике при переходе от микроскопич. к макроскопич. описанию). Условиями такого сокращения являются наличие в системе взаимодействий только с коротким радиусом, а также резкое возрастание к о р р е л я ц и о н н о й д л и н ы x (или, что то же, радиуса корреляции r₀) вблизи критич. точки Т _с; величина x характеризует мин. размер области, в к-рой свойства вещества в достаточной степени передают свойства макроскопич. образца. При больших значениях x весьма правдоподобной выглядит г и п о т е з а п о д о б и я (см. ниже), приводящая к явлению у н и в е рс а л ь н о с т и, т. е. независимости физ. свойств системы от деталей строения гамильтониана (в т. ч. от значений входящих в него констант связи разл. взаимодействий). Существенными оказываются лишь значения размерностей п и d, где п характеризует симметрию параметра порядка (т. е. число компонент вектора спина или квазиспина; см. Спиновый гамильтониан),a d- число измерений пространства дискретной решётки; соответственно все квазиспиновые модели подразделяются на к л а с с ы э к в и в а л е н тн о с т и (n, d )(рис. 1).

Рис. 1. Основные области I, II, III на (n, d )-плоскости (n- число компонент спина; d- размерность решётки); I - "классическая" область (d>=4 )со значениями кри тических показателей в среднего поля приближении; II - область, где фазовый переход отсутствует ( Т _с0); III-промежуточная область с соответствующими значениями критических показателей. Граница между облас тями II и III проходит через точки (0, 0), (1, 1) и (,2).

Уменьшение числа степеней свободы (в единице объёма) при описании критич. явлений проводится обычно посредством перехода от микроскопич. узельных, или "ячеечных", спинов к макроскопич. квазинепрерывным "блочным" спинам, определяемым как нек-рое среднее (разумеется, не в термодинамич. смысле) от b^d дискретных ячеечных спинов. Здесь b>=1- целое число, указывающее, во сколько раз каждое из d рёбер гиперкубич. спинового "блока" превосходит постоянную исходной решётки. Описанная операция проводится столько раз, сколько необходимо, чтобы линейные размеры блока стали порядка x (очевидно, это вполне аналогично операции сглаживания или крупнозернистого усреднения, используемой, напр., в гидродинамике). С др. стороны, переход к блочным спинам, обладающим пространственным разрешением ~b, вполне эквивалентен удержанию в фурье-разложении по векторам k в первой Бриллюэна зоне обратной решётки фурье-компонент лишь с k<L, где L = 2pb^-1 - п а р ам е т р о б р е з а н и я. Физически это соответствует пренебрежению коротковолновыми флуктуациями с k, превосходящими L, в непрерывном распределении спиновой плотности.

Преобразование Каданова и модель Гинзбурга - Ландау. При переходе от ячеечных к блочным спинам происходит также соответствующий переход от исходного ячеечного к блочному гамильтониану, к-рый осуществляется посредством п р е о б р а з о в а н и я К а д а н о в а (L. P. Kadanoff, 1966) К _b, обладающего групповым свойством K_sK_b = K_sb и приводящего к эфф. зависимости параметров блочного гамильтониана от абс. темп-ры Т, внеш. магн. поля Н и т. п. Простейший и наиб. употребительный блочный гамильтониан описывает м о д е л ь Г и н з б у р г а - Л а нд а у (В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау, 1958) (см. также Ландау теория ф а з о в ы х п е р е х о д о в). Соответствующий гамильтониан можно записать в одной из двух физически эквивалентных форм (см. ниже): как оператор (1), заданный на дискретном пространстве решётки, или как функционал (3) от неоднородного (но с учётом только длинноволновых флуктуации) пространственного распределения спиновой плотности. Именно,

где блочный спин s _х определён как полный спин блока, отнесённый к числу узлов (ячеек) в блоке b^d ( х- радиус-вектор центра блока), ; слагаемое, пропорц. с в (1), описывает взаимодействие между блоками г р а д ие н т н о г о т и п а (штрих у знака суммы указывает, что суммирование идёт по 2d блокам у- ближайшим соседям блока х). Здесь h - внеш. магн. поле, коэф. а₀, а₂, a₄ и с зависят от Т (как и возможные, в принципе, коэф. а₆, a₈, ... при более высоких чётных степенях спинов) и являются гладкими (несингулярными) ф-циями Т и др. параметров, в т. ч. и в самой критич. точке. Последнее свойство обусловлено короткодействующим характером исходного взаимодействия между ячеечными (а следовательно, и блочными) спинами, причём каждое слагаемое в описывает локальные свойства и относится к конечному числу (~b^d) спинов.

С др. стороны, учитывая, что величина

описывает спиновую конфигурацию в масштабах вплоть до b~ L^-1, имеем

где ; используя (2), можно записать (3) в наиб. часто применяемой форме (при а₀ =0, h =0)с общепринятыми обозначениями а₂ = r₀, а₄ = и:

суммирование по i и j проводится от 1 до n, а модули всех волновых векторов под знаком суммы ограничены сверху величиной Л.

Масштабное преобразование и размерности. Наряду с построением блочной спиновой конструкции путём последовательного применения преобразования Каданова, при определении РГ для критич. явлений используется м а сш т а б н о е п р е о б р а з о в а н и е х х' = x/s (соответственно kk' = sk), при к-ром физ. система "сжимается" в s раз по каждому направлению. Тогда после двойного преобразования Каданова K_sb размер sb спиновых блоков вновь уменьшается до исходной величины b, однако в блочный гамильтониан войдут перенормированные спины s'_x' =l_ss_x/s, где l_s = s^a (а не зависит от s), так что l_sl_s' = l_ss'. Вообще говоря, в связи с масштабными преобразованиями, принято вводить м а с ш т а б н ы е, или а н о м а л ь н ы е, р а з м е р н о с т и D_A любых физ. величин А, характеризующих систему: А( х) А'(x') = s^DAA(x/s)- в отличие от обычных, или к а н о н и ч е с к и х, р а з м е р н о с т е й d_A , определяемых в связи с изменением характерного линейного размера L и [A] = [L^-dA], причём в общем случае D _Аd_A. Это различие обусловлено тем, что канонич. размерность определяется с учётом преобразования всех длин, тогда как при определении аномальной размерности, имеющей динамич. природу, предполагается, что в окрестности критич. точки преобразуется лишь единственный существенный параметр длины - радиус корреляции x при Т Т _с (h = 0) (см. также Масштабная инвариантность), через к-рый и должны выражаться результаты всех масштабных преобразований (точнее, через безразмерную комбинацию s/x. Согласно гипотезе подобия, расходимость сингулярных величин вблизи Т _с целиком обусловлена именно их зависимостью от x, на основании чего может быть получен ряд законов подобия, связывающих друг с другом критич. показатели и выражающих условия непротиворечивости разл. определений размерности одной и той же физ. величины.

Ренормализационная группа (РГ) для критических явлений. Сочетание описанных выше операций крупнозернистого разбиения и изменения масштаба определяет совокупность преобразований РГ {R_s, s>=1}, обладающих групповым свойством R_sR_s'=R_ss' (точнее, полугрупповым, т. <к. для них не определено обратное преобразование). Окончательно преобразование R_s для РГ можно определить как преобразование m' = R_sm в т. н. п а р а м е т р и ч е с к о м или m -п р о с т р а н с т в е, где каждая точка m представляет собой набор параметров эфф. блочного гамильтониана, а совокупность преобразований {R_s} - семейство нек-рых "траекторий" в нём. В общем случае размерность пространства {m} превосходит размерность пространства параметров исходного ячеечного гамильтониана (r₀, и, с )и растёт по мере роста числа преобразований РГ, однако обычно удаётся ограничиться подпространством основных (доминирующих) взаимодействий. Наиб. физ. интерес в методе РГ представляют н е п о д в и ж н ы е т о ч к и m*, инвариантные относительно преобразований симметрии R_s, т. е. обладающие свойством R_sm* =m* при нек-ром конечном s (а следовательно, и в пределе s). Для этих точек вводится понятие к р и т и ч е с к о й п о в е р х н о с т и, для к-рой , так что с ростом s все её точки переходят в m*, а при достаточно больших s все точки R_sm. будут находиться достаточно близко к m*.

Основная физ. гипотеза, связывающая РГ с критич. явлениями (К. Вильсон, К. G. Wilson, 1971), состоит в том, что m( Т _с,0)лежит на критич. поверхности неподвижной точки m*, т. е. lim_s->oo R_sm(T_c,0) = m*, тогда как при Т Т _с, Н0 точка не принадлежит критич. поверхности. В окрестности m* оператор R_s может быть линеаризован след, образом: если m= m* + dm (где dm в нек-ром смысле мало), то ур-ние m' = R_sm можно записать в виде dm' = R^L_sdm + О((dm)²), где R^L_s - линеаризованная часть оператора R_s, для к-рой существует набор собственных векторов (ортов) {e_j} и собственных значений {r_j(s)}, причём групповое свойство R_s обусловливает степенной вид зависимости r_j(s) = s ^yj (y_j- критич. показатель, не зависящий от s). Тогда . Для произвольных точек m вводится понятие м а с ш т аб н ы х п о л е й g_i(m), для к-рых g_i(R_sm) = g_i(m)s^yi; в частности, при m, близких к m*, имеем g_i(m* + dm) = t_i+O((dm)²). Вблизи критич. точки гамильтониан можно представить в виде

,

где м а с ш т а б н ы е п е р е м е н н ы е (или о п е р а т о р ы) c_i определяются как (а в более общем случае - как сопряжённые к g_i операторы ). Масштабные поля (и соответствующие им операторы) наз. с у щ е с т в е н н ы м и, если у _j>0 (r_j -возрастает с ростом s), н е с у щ е с т в е н н ы м и, если y_j<0 (r_j убывает с ростом s), и п р о м е ж у т о ч н ы м и, если y_j =0(r_j не зависит от s). Число существенных параметров возрастает с понижением размерности d; кроме того, оно зависит от конкретного характера неподвижной точки m* [напр., вблизи гауссовой неподвижной точки (см. ниже) r'₀ = r₀s². существен при всех d, u' = us^4-d становится существенным при d<4, u'₆ = u₆s^6-2d- при d<3, а при d<2возникает ещё ряд существенных параметров; параметр с' = с является промежуточным при любых d]. Соответственно вдоль существенных "осей" e_j траектории "уходят" от точки m*, а вдоль несущественных- "подходят" (см., напр., рис. 2, 3) к ней (промежуточный случай нуждается в дополнит. исследовании); совокупность ортов, соответствующих "сходящимся" траекториям, образует подпространство, наз. о б л а с т ь ю п р и т я ж е н и я m* и являющееся частью критич. поверхности.

Рис. 2. Гауссова неподвижная точка m_G* со значениями параметров r₀* = и* =0 и собственные векторы e₁ и е₂ оператора R_S^L на плоскости двух параметров (r₀, и). Ли нии тока и стрелки указывают направления движения R_sm. с ростом s: a- устойчивая точка (d>4); б- неустойчи вая точка ( - 2<d<4).

Рис. 3. Неустойчивая гауссова неподвижная точка m_G* и устойчивая нетривиальная неподвижная точка при d<4(d=4-e,e>0).

В окрестности m* действие преобразования РГ имеет вид

где учтено, что t_i- гладкие ф-ции Т, обращающиеся в нуль при T=T_c и h=0, так что t_i(T}~At,t=( Т-Т _с )/Т _с, и введены обозначения x = |At|^-v, v=1/y₁>0, a y₂<0- наибольшее из всех у _i не= у₁; при h0 вблизи Т _с в правую часть (5) добавляется слагаемое hs^y_he_h, причём обычно y_h>0. Если кроме y₁ и y_h имеются ещё один или более существенных параметров, то неподвижная точка становится неустойчивой поликритической точкой (три-критической при одном дополнит. параметре, тетракрити-ческой при двух и т. д.). Неподвижная точка такого типа характеризуется т. <н. к р о с с о в е р н ы м п о к а з а т е л е м j_i=y_iv=y_i/y₁ (соответствующее слагаемое в (5) имеет вид t_i|t₁|^-v при s=x=|t₁|^-v), показывающим, насколько существен параметр t₁ при данной величине t_i .

Одной из осн. задач в методе РГ является классификация и анализ устойчивости возможных неподвижных точек и нахождения связанных с ними критич. поверхностей, масштабных полей и их критич. показателей. С этой целью широко используются методы топологии и качественной теории дифференц. ур-ний для траекторий в m -простран-стве [т. <н. у р а в н е н и й К а л л а н а - С и м а н з и к а (С. G. Callan, К. Symanzik, 1970)], причём результаты удобно изображать с помощью "линий тока", указывающих направление движения разл. точек m -пространства под действием преобразований R_s.

Неподвижные точки, траектории и Э.-р. для модели Гинзбурга- Ландау. Наиб. простой, но практически важный случай применения метода РГ-модель Гинзбурга-Ландау, соответствующая случаю трёхмерного параметрич. пространства m= (r₀, и, с). При условии фиксированного значения с преобразование R_s реализуется в нём посредством системы двух обыкновенных дифференц. ур-ний в двухпараметрич. плоскости (r₀, и )в области малых значений r₀, и и e = 4 - d:

где lln s, р=16( п +2), q=16( п +8). Неподвижные точки системы (6) могут быть найдены из условия dr₀/dl= = du/dl=0, а соответствующие пары критич. показателей (y₁, y₂)-cпомощью линеаризации этой системы вблизи неподвижных точек. Тривиальная, или г а у с с о в а, неподвижная точка m*_G характеризуется значениями r*₀ = u* = 0 и показателями y₁=2, y₂ =e; очевидно, m*_G устойчива при d>4( у₂<0)и неустойчива при d<4 (y₂>0) (рис. 2), причём при d>4роль критич. поверхности выполняет прямая, направленная вдоль орта е₂, а при d<4у m*_G вообще отсутствует критич. поверхность. В случае d<4(e>0) устойчивой становится другая неподвижная точка-т. н. н е т р и в иа л ь н а я , характеризуемая значениями = - (p/2q)e<0 и = e/q и критич. показателями у₁=2-(p/q)e, y₂=-e<0(рис. 3); очевидно, что при d>4.(e<0) неподвижная точка , хотя формально и существует, но соответствует значению u<0 и потому не имеет физ. смысла.

В граничном случае d=4. обе неподвижные точки m*_G и сливаются в одну, двукратно вырожденную, причём степенные особенности корреляц. ф-ций сменяются при этом на логарифмические. Физ. смысл смены характера устойчивости точек m*_G и при переходе через значение d=4состоит в том, что при d>4. спиновые флуктуации слабо взаимодействуют друг с другом и критич. поведение описывается гауссовым приближением (эквивалентным среднего поля приближению), в к-ром осн. роль играет градиентное слагаемое с с0, соответствующее сильному взаимодействию соседних спиновых блоков. Однако при d<4влияние этих флуктуации становится существенным и величиной и, в принципе, нельзя пренебрегать, однако учитывать вклад соответствующего слагаемого в критич. свойства возможно лишь приближённо.

Построение Э.-р. для критич. показателей вблизи нетривиальной неподвижной точки при d<4 [К. Вильсон, М. Фишер (К. G. Wilson, M. E. Fisher); 1972] в виде степенного ряда по e становится возможным благодаря тому, что и* = О(e), и для вычисления свободной энергии и корреляционных ф-ций может быть использована термодинамическая теория возмущений, в к-рой в качестве гамильтониана возмущения рассматривается входящее в правую часть (3) или (4) слагаемое, пропорциональное и и содержащее s⁴.

При построении Э.-р. с помощью формально расходящихся рядов теории возмущений используется хорошо разработанный аналог метода Фейнмана диаграмм для спиновых операторов. Так, напр., согласно ур-нию Дай-сона, корреляц. ф-ция G(k) = <s(k)s( -k)> имеет вид G^-1(k)=G₀^-1(k) +S(k), где G₀(k) - "свободная" корреляц. ф-ция в отсутствие взаимодействия ( и0); в критич. точке t = 0, G₀^-1(k)~k², а массовый оператор S(k) в низших порядках по взаимодействию может быть разложен по степеням ln k:. С др. стороны, согласно результатам анализа по методу РГ, вблизи критич. точки G(k)~k^-2+h(1+ О(k^-y2), и для нахождения h = О(e²) возникает задача отделения "существенных" слагаемых, содержащих h в разложении G(k )по степеням ln k при k0,

от "несущественных", возникающих благодаря наличию несуществ. переменной t₂. с малым показателем у₂ = О(e); для этого необходимо подобрать спец. вид ф-ции u(e) (обычно такой, чтобы обратить t₂. в нуль). Очевидно, от выбора и(e), равно как и от величины и способа введения параметра обрезания L, согласно гипотезе универсальности, не должен зависеть окончательный результат; описанная процедура наз. исключением медленного переходного процесса или расширением критич. области (Вильсон, 1971).

Родственными Э.-р. в квантовой статистич. физике являются также разложения на малых расстояниях и на световом конусе для произведений локальных токов в КТП. Напр., произведения двух локальных токов J(x+l) и J(x-l) при малых пространственно-временных векторах l ведут себя след. образом:

Здесь K_i(l)- сингулярные с -числовые коэффициенты; J'_i(x) - нек-рые новые локальные токи, а член Q(l, x) несингулярен в точке l=0. Такого рода разложения позволяют исследовать асимптотику коэффициентов K_i(l) при l0 методами РГ. В частности, именно таким образом строится описание глубоко-неупругого рассеяния в квантовой хромодинамике (Вильсон, 1969).

Метод РГ для критич. явлений, в том числе Э.-р. до настоящего времени не имеет вполне надёжного матем. обоснования, а также к.-л. однозначной реализации. Существует ряд подходов, основанных на использовании теории возмущений, рекуррентных ф-л, дифференц. ур-ний и т. п., каждый из к-рых обладает своими преимуществами и недостатками. Однако в целом метод РГ наиб. предпочтителен для анализа критич. явлений, т. к. в отличие от прямых методов вычисления статистич. суммы и корреляц. ф-ций преобразования РГ действуют в пространстве несингулярных величин и предоставляют широкие возможности для построения аппроксимаций, в т. ч. прямых численных расчётов с использованием ЭВМ.

Лит.: Вильсон К., Когут Дж., Ренормализационная группа и e-разложение, пер. с англ., М., 1975; Ландау Л. Д., Лиф-шиц Е. М., Статистическая физика, ч. 1, 3 изд., М., 1976, p 147; Паташинский А. 3., Покровский В. Л., Флуктуационная теория фазовых переходов, 2 изд., М., 1982; Pfeuty P., Toulouse G., in: Introduction to the renormalization group and to the critical phenomena, L.- N. Y., 1977; Ma Ш,, Современная теория критических явлений, пер. с англ., М., 1980; Изюмов Ю. А., Скрябин Ю. Н., Статистическая механика магнитоупорядочен-ных систем, М., 1987. Ю. Г. Рудой.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.