- КРИВИЗНЫ ТЕНЗОР
- КРИВИЗНЫ ТЕНЗОР
-
(Римана тензор) - локальная характеристика кривизны в римановой геометрии. К. т. определяют с помощью процедуры параллельного переноса вектора вдоль замкнутой кривой в римановом пространстве. Параллельным (ковариантно постоянным) вдоль кривой наз. векторное поле Fi (х), для к-рого обращается в нуль ковариантная производная по направлению скорости кривой : . В евклидовой геометрии существуют координаты, в к-рых ковариантная производная сводится к обычной (а Кристоффеля символыравны нулю), поэтому результат переноса не меняет вектора и не зависит от кривой. В римановой геометрии таких координат не существует, полученный в результате переноса вектор отличен от первоначального, причём отличие в пределе малой кривой пропорц. площади ограниченной ею поверхности: , где К. т. равен
Равенство нулю всех компонент К. т. в каждой точке пространства необходимо и достаточно для того, чтобы это пространство было евклидовым. С К. т. связана некоммутативность ковариантных производных; для общих связностей где -тензор кручения. Если перейти от смешанных компонент К. т. к его ковариантным компонентам по правилу = =, где gin - метрический тензор, то для имеет место равенство
Отсюда вытекают след. свойства К. т.:
(тождество Риччи),
(тождество Бьянки).
Полное число N разных, не равных нулю, компонент К. т. в n -мерном римановом пространстве равно N= . Из К. т. путём свёртывания Rk = = получается Риччи тензор Rik. Наконец, свёртывание Rik даёт инвариант ., наз. скалярной кривизной пространства.
Лит.: Фок В. А., Теория пространства, времени и тя-. готения, 2 изд., М., 1961; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд.. М . 1986. В. И. Алхимов.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.