- КОНТУРНЫЙ ИНТЕГРАЛ
- КОНТУРНЫЙ ИНТЕГРАЛ
-
- интеграл, в к-ром интегрирование производится по контуру (кривой) в n -мерном комплексном или вещественном пространстве. Различают два типа К. и.- интегралы от скалярных ф-ций и интегралы от векторных ф-ций. К первому из них относятся интегралы вида , где
- гладкий (или кусочно гладкий) контур 
в n -мерном вещественном пространстве, Р=(х 1,. . ., х n) - точка в этом пространстве, f(P) - ф-ция, заданная на 
, ds - элемент длины 
. Если контур 
задан параметрически ур-ниями x1=x1(t), . . ., xn=xn(t), где параметр t меняется в пределах от а до b( а<b), то
К К. и. этого типа сводятся нахождение длины кривой, вычисление массы материальной кривой по её плотности, нахождение её центра инерции и т. д.
К К. и. второго типа относятся интегралы вида
где f1 ( Р),..., fn ( Р) - п ф-ций, заданных на контуре
. Если, как и выше, контур g задан параметрически, то
Значения интегралов в правой части не зависят от выбора параметризации контура
, сохраняющей направление его обхода. При изменении направления обхода К. и. второго типа (в отличие от К. и. первого типа) меняет знак. К таким К. и. сводится задача о вычислении работы силового поля при перемещении точки вдоль кривой. Если контур 
замкнут, то К. и. второго типа сводится к интегралу по двумерной поверхности, натянутой на этот контур (см. Грина формулы, Гаусса - Остроградского формула, Стокса формула).Важную роль К. и. второго типа играют в теории аналитических функций. Пусть z = х+iy, f(z) = = и(х, y)+i
(x, у) - комплекснозначная ф-ция, заданная на контуре 
, тогда по определению
В терминах интегралов вида формулируется
Коши теорема, определяется Коши интеграл, на их свойствах основана теория вычетов и т. д.
Б. И. Завьялов.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.
