- ДУАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
- ДУАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
-
(от лат. dualis - двойственный) - преобразование от переменных параметра порядка (ПП) к переменным параметра беспорядка (ПБ) в решёточной модели статистич. физики (см., напр., Двумерные решёточные модели). Флуктуации ПП малы при низких темп-pax, а флуктуации ПБ малы при высоких темп-pax. Д. п. существует для моделей с локальным взаимодействием, инвариантным относительно абелевой группы симметрии. Введено X. Крамерсом (Н. Kramers) и Г. Ванье (G. Wannier) в 1941.Переменные ПП (условно наз. спинами) - двумерные единичные векторы S(r)={cos q(r),sin q(r)}, заданные в узлах решётки r. Для простоты рассматривается квадратная решётка при d=2 и кубическая при d=3 (d - размерность пространства). Углы q(r )принимают непрерывный ряд значений 0[q(r)[2p в U(1)-модели и дискретные значения q(r)=2pp(r)/q, р = 0, 1, ... , q-1 в Zq -модели. Взаимодействуют спины, находящиеся в соседних узлах. Энергия парного взаимодействия спинов в узлах rи r+m (m - базисный вектор решётки) зависит от разности углов в этих узлах (решёточного градиента) дmq(r)=q(r+m)-q(r)с точностью до слагаемого, кратного 2p. Система полностью характеризуется набором парных статистич. весов (ПСВ) w[ дmq(r)]=ехр{-e [ дmq(r)]/ Т}, где e [ дmq(r)] - энергия парного взаимодействия, Т - темп-pa в энергетич. единицах. <ПСВ не меняются при одинаковом повороте всех спинов на произвольный угол q для группы U(1) и угол q, кратный 2p/q, для группы Zq. ПСВ как периодич. функцию рёберной переменной qm(r)= дmq(r) можно разложить в ряд Фурье на группе U(1):
Ряд Фурье на группе Zq кончен:
где qm = 2pр m/qПереход в статистич. сумме к целочисл. рёберным переменным nm(r) приводит к условию равенства нулю их дивергенции в каждом узле решётки. Этому условию удовлетворяет след. представление: nm(r) = emv д v т (R),d=2; пm(r)=emvl д v тl(R),d=3, где e -символы Леви-Чивиты. Переменные т (R),d=2 и тl(R),d=3 и есть переменные ПБ. При d=2 m(R )расположены в узлах R дуальной решётки (центрах граней исходной). При d=3 тl(R )расположены на рёбрах дуальной решетки, узлы к-рой находятся в центрах ячеек исходной. Переменные ПБ в U(1)-модели принимают все целочисл. значения (группа Z), в Zq -модeли переменные ПБ принимают значения 0,1,. . ., q-1 (группа Zq). При d=3 nm(r )не меняется при калибровочном преобразовании ml(R) "ml(R)+дlm(R), исходная спиновая модель дуальна калибровочной решёточной модели. <В квантовой теории поля рассматривают решёточные калибровочные модели при d=4. Калибровочные переменные ПП qm(r) задаются на рёбрах. Локальный ста-тистич. вес задаётся на гранях и зависит только от комбинации qmv(r) = дmqv (r)-д vqm(r). Как и в случае спиновых моделей, можно перейти к суммированию по переменным разложения Фурье nmv(r )с условием нулевой дивергенции дmnmv(r) = 0. Поэтому вводят переменные ПБ тa(R )на рёбрах дуальной решётки: nml(r) =emlab дamb(R). Спиновые Zq -модели при d=2 наз. самодуальными, если ПСВ w (р m) и
связанные преобразованием Фурье (2), имеют одинаковый вид. В этом случае Д. п. сводится к замене переменных ПП на переменные ПБ и нелинейному преобразованию темп-ры, то же справедливо для калибровочных моделей при d=4. В табл. приведены ПСВ самодуальных моделей и указаны преобразования темп-ры этих моделей: Т " Т*. Уд. свободная энергия f(Т )самодуальных моделей при Д. п. изменяется след. образом: f(T)=f(T*)
где 
- перенормировка ПСВ. <Точки неаналитичности свободной энергии (критич. точки) могут либо быть стационарными точками Д. п.: Т с=Т с*, либо переходить одна в другую (если их несколько). В модели Изинга и ферромагн. моделях Поттса Т с=Т с*- единств. точка фазового перехода, в моделях Березинского - Виллэна две критич. точки. В калибровочной модели Изинга темп-pa перехода также определяется соотношением самодуальности. Лит.:S a v i t R., Duality in field theory and statistical systems, "Rev. Mod. Phys.", 1980, v. 52, №2, pt 1, p. 453: Б э к с т е р Р., Точно решаемые модели в статистической механике, пер. с англ., М., 1985. С. В. Покровский.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.
