Дуальное преобразование (геометрия)

Дуальное преобразование (геометрия)

Дуальное преобразование на плоскости — преобразование, переводящее все точки $(a,\;b)$ в прямые, удовлетворяющие уравнению ax + by + 1 = 0 и наоборот. При этом прямые, проходящие через одну точку переводятся в точки, лежащие на одной прямой и наоборот, соответственно. Для любой теоремы и аксиомы относительно геометрических объектов на плоскости существует аналогичная теорема или аксиома относительно их дуальных отображений.

Дуальное преобразование в пространстве аналогично дуальному преобразованию на плоскости, но переводит все точки $(a,\;b,\;c)$ в плоскости ax + by + cz + 1 = 0 и наоборот.

Дуальное преобразование применимо не только к примитивным геометрическим объектам, но и к аналитически заданным кривым. При этом кривая, проходящая через множество точек переводится в огибающую семейства прямых, дуальных этим точкам. Для параметрически заданной кривой на плоскости её дуальное отображение определяется следующими уравнениями:

$X[x,\;y]=\frac{y^\prime}{yx^\prime-xy^\prime}$,

$Y[x,\;y]=\frac{x^\prime}{xy^\prime-yx^\prime}$.

См. также

• Поляра