ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ

- раздел математики, в к-ром строят и изучают матем. модели случайных явлении.

Случайность присуща в той или иной степени подавляющему большинству протекающих в природе процессов. Обычно она присутствует там, где существ. влияние на ход процесса оказывает очень большое число незначительных по отдельности факторов (как, напр., при движении броуновской частицы или в классич. примере с бросанием монеты), особенно в том случае, когда система динамически неустойчива; статистич. характер имеют также законы квантовой механики. Внешне случайность проявляется как недостаточная регулярность в массовых явлениях, к-рая не позволяет с достоверностью предсказывать наступление определ. событий, т. е. не допускает описания этих явлений в рамках детерминиров. моделей. Тем не менее при изучении таких явлений выявляются определ. закономерности. Свойственная случайным событиям нерегулярность, как правило, компенсируется наличием т. н. статистич. закономерности, стабилизации частот наступлений случайных событий в длинном ряду испытаний; тогда говорят, что данные случайные события имеют определ. вероятность Пусть при каждом осуществлении нек-рого воспроизводимого комплекса условий С может наступать или не наступать событие А. Наличие у события А при условиях С определ. вероятности р означает, что в достаточно длинной серии испытаний (повторных осуществлений условий С; предполагается, что эти испытания в нек-ром смысле независимы) частота наступления события А, т. <е. отношение числа тех испытаний из серии, в к-рых А наступило, к общему их числу, приблизительно равна p.T. о., для описания связи случайных событий с условиями их наступления вместо обычного для классич. естествознания утверждения "в условиях С наступает событие А" приходится ограничиваться утверждением "при условиях С событие А имеет вероятность р". Именно для таких случайных событий, имеющих определ. вероятность, удалось построить содержат. матем. теорию, к-рая и носит название В. т. На практике особенно часто используют такие её результаты, к-рые позволяют утверждать, что вероятность P(А )наступления определ. события А близка к 1, т. е. что А практически достоверно. Такие результаты относятся, как правило, к области предельных теорем В. т., к-рые и являются её осн. содержанием.

Статистич. закономерности были известны давно, понятия В. т. возникли в сер. 17 в. в работах Б. Паскаля (В. Pascal), П. Ферма (P. Fermat) и X. Гюйгенса (Ch. Huygens), Существ. вклад в развитие В. т. внесли Я. Бернулли (J. Bernoulli), П. Лаплас (P. Laplace), К. Гаусс (С. Gauss), C. Пуассон (S. Poisson), П. Л. Чебышев. В кон. 19 - нач. 20 вв. открыто большое кол-во статистич. закономерностей в физике, биологии и др. науках (радиоакт. распад, законы Менделя и т. д.). Следует отметить, что статистич. закономерности возникают и в неслучайных схемах (напр., в распределении цифр в таблицах ф-ций и т. п.); это обстоятельство используется при "моделировании" (имитации) случайных явлений, напр. в Монте-Карло методе.

Основные понятия теории вероятностей. Для вероятностей случайных событий справедливы след. простые соотношения. Пусть А и В - события, относящиеся к условиям С. Обозначим через А1119913-600.jpg В объединение событий А и В (событие "наступает А или В"), а через 1119913-601.jpg - достоверное событие, т. е. событие, наступающее при каждом осуществлении условий С. События Au B наз. несовместными, если их одноврем. наступление невозможно. Из частотной интерпретации вероятности следует:

1119913-602.jpg

для несовместных А и В. Последнее свойство обобщается и на любое конечное число попарно несовместных событий; это свойство наз. теоремой сложения вероятностей.

Строгую В. т. можно построить, исходя лишь из этих соотношений. В наиб. простом её варианте (элементарной В. т.) предполагают, что испытание заканчивается одним из конечного набора 1119913-603.jpg исходов 1119913-604.jpg, к-рые наз. элементарными событиями. Каждому исходу 1119913-605.jpg приписывают вероятность 1119913-606.jpgО, причём 1119913-607.jpg. Рассматриваемые в элементарной В. т. события 1119913-608.jpg имеют вид "наступает 1119913-609.jpg, или 1119913-610.jpg, ..., или 1119913-611.jpg"; исходы 1119913-612.jpg наз. благоприятствующими А . Событие 1119913-613.jpgназ. достоверным. Вероятность P (А )события А равна сумме вероятностей благоприятствующих ему исходов: 1119913-614.jpg. Именно так устроена любая числовая ф-ция, заданная на классе всех подмножеств 1119913-615.jpg и удовлетворяющая условиям (1-3) (при этом 1119913-616.jpg определяют как объединение наборов благоприятствующих А и В исходов, а несовместными наз. события, не имеющие общих благоприятствующих исходов).

В. т. развивалась вначале в рамках частного случая элементарной В. т., в к-ром 1119913-617.jpg и, следовательно, вероятность события А равна отношению числа благоприятствующих А исходов к общему числу N"равновозможных" исходов (т. н. классическое определение вероятности; именно оно имеется в виду, когда говорят о случайном выборе одного из нек-рой совокупности предметов). Такое определение вероятности является, по существу, спец. формой записи симметрии случайного явления и поэтому часто встречается при использовании дискретных вероятностных моделей (напр., в статистич. физике, биологии и т. п.). Вычисление вероятностей при этом сводится к подсчёту числа благоприятствующих исходов, т. е. к комбинаторной задаче.

В рамках элементарной В. т. можно также наиб. просто определить осн. понятия В. т. Совмещением (или пересечением) событий А и В наз. событие 1119913-618.jpg = "наступает и А и В" (т. е. набор благоприятствующих ему исходов равен пересечению множеств исходов, благоприятствующих А и В). Все эти определения обобщаются и на любое конечное число событий. Наряду с символами 1119913-619.jpg, 1119913-620.jpg в В. т. широко используют и др. теоретико-множеств. обозначения (что естественно, поскольку события в ней отождествляются с множествами исходов). Так, 1119913-621.jpg -дополнительное (или противоположное) к А событие (образованное всеми неблагоприятствующими А исходами); запись 1119913-622.jpg означает, что появление события А влечёт наступление В. Приведём простейшие свойства вероятности [все они вытекают из 1)-3)]: 4) 1119913-623.jpg; 5) если 1119913-624.jpg, то 1119913-625.jpg; 6)1119913-626.jpg1119913-627.jpg [значит, для произвольных А и В в 3) вместо равенства должен стоять знак 1119913-628.jpg].

Условная вероятность события А при условии В определяется как 1119913-629.jpg , т. е. вероятность события А на подмножестве тех событий, где выполнено В. Такое определение хорошо согласуется с частотной интерпретацией вероятностей. На практике часто используют след. соотношения между вероятностями случайных событий. Пусть B1, ..., Bn- , попарно несовместные события и их объединение есть достоверное событие W. Формула полной вероятности

1119913-630.jpg

для любого события А позволяет вычислить его вероятность по условным вероятностям 1119913-631.jpg , найти к-рые часто значительно легче, чем P(A), Формулу Бейеса 1119913-632.jpg широко используют в статистике, события 1119913-633.jpg при этом наз. гипотезами, P(B1)- их априорными вероятностями, а 1119913-634.jpg -апостериорной вероятностью 1119913-635.jpg (вероятность справедливости гипотезы Bj, если известно, что наступило событие А).

События A и B наз. независимыми, если условная вероятность одного из них при условии наступления другого равна его безусловной вероятности, или, что то же, если 1119913-636.jpg . Аналогично события A1, А 2, ..., An наз. независимыми, если для любых 1119913-637.jpg

1119913-638.jpg

(Отметим, что из попарной независимости событий отнюдь не вытекает их независимость в совокупности.) Последнее равенство наз. теоремой умножения вероятностей. Ф-ла (1) останется справедливой, если нек-рые из Ai заменить в обеих частях на дополнительные к ним события 1119913-639.jpg

Пример. Пусть события А 1, ..., An независимы и имеют каждое вероятность р. Эти события можно интерпретировать как "успехи" в наблюдении нек-рого случайного события в п независимых испытаниях. Тогда вероятность наступления ровно m успехов равна

1119913-640.jpg

Действительно, можно взять 1119913-641.jpg , все ik=0 или 1}, где ik=l соответствует наступлению А k, а ik=0 - его ненаступлению. Наступлению т успехов благоприятствуют те исходы (i1, ..., in), у к-рых среди ik ровно т единиц; всего таких исходов 1119913-642.jpg, а вероятность каждого такого исхода в силу независимости Ak, свойства (4) и ф-лы (1) равна 1119913-643.jpg.

К этому примеру непосредственно примыкает одна из первых (и важнейших) предельных теорем В. т.- теорема Бернулли (простейшая форма больших чисел закона), согласно к-рой вероятность значит. уклонения частоты успехов v от вероятности р при больших п становится сколь угодно малой. Т. <о., рассматриваемая матем. модель случайных явлений приводит к согласующемуся с практич. наблюдениями выводу о стабилизации частот случайных событий около их вероятностей.

Скорость стремления частоты nк p оценивают с помощью теоремы Лапласа (частный случай центральной предельной теоремы). С ростом n вероятность 1119913-644.jpg стремится к Ф(b)-Ф(а), где - 1119913-645.jpg ф-ция стандартного нормального распределения ( Гаусса распределения).

Частота n является типичным примером др. объекта В. <т.- случайной величины. Так называется любая ф-ция X, ставящая в соответствие каждому исходу 1119913-646.jpg число xi, при этом среди xi могут быть и равные. Конкретный вид отображения 1119913-647.jpg часто несуществен, достаточно знать лишь распределение случайной величины X, т. е. набор разл. возможных значений 1119913-648.jpg и приписываемых им вероятностей. Математическое ожидание случайной величины X определяется как число 1119913-649.jpg

Пример. Пусть в предыдущем примере 1119913-650.jpg для исхода (i1, ..., ik, ..., ii), k=1, ..., n, т. е. случайные величины 1119913-651.jpg принимают на N= 2n исходах лишь два возможных значения: 0 и 1, с вероятностями 1- р и р соответственно, так что 1119913-652.jpg

Частота успехов 1119913-653.jpg , при этом 1119913-654.jpg равна (2), т. е. nn имеет биномиальное распределение.

В этом примере рассматривался набор случайных величин X=(X1, ..., Xn), или случайный вектор. Основной характеристикой случайного вектора, как и случайной величины, является его распределение (совместное распределение случайных величин X1, ..., Xn), т. е. набор возможных его значений (x1, ..., х п )и их вероятностей, равных вероятностям совмещений событий 1119913-655.jpg . Если эти события для всех наборов (x1, ..., xn) оказываются независимыми, то случайные величины X1, ..., Xn также наз. независимыми. О важнейших числовых характеристиках случайных величин см. Дисперсия, Моменты случайной величины, Корреляции коэффициент.

Аксиоматика теории вероятностей. Элементарная В. т. недостаточна для описания случайных явлений уже в простых ситуациях. Модель с конечным числом исходов непригодна, напр., для понятия "случайно выбранной на отрезке точки". Такого рода трудности позволяет преодолеть схема, предложенная A. H. Колмогоровым в 1933 и ставшая с тех пор общепринятой.

Осн. эле. <ментами этой аксиоматич. схемы являются: пространство элементарных событий 1119913-656.jpg, к-рое может быть множеством произвольной природы, нек-рый класс 1119913-657.jpgего подмножеств, т. е. множеств элементарных событий, к-рые наз. событиями, и числовая ф-ция P на 1119913-658.jpg, к-рая удовлетворяет условиям 1)-3) и наз. вероятностью. Для корректности матем. модели требуют, чтобы класс 1119913-659.jpg был s-алгеброй (т. е. чтобы сам 1119913-660.jpg было событием и, значит, принадлежало 1119913-661.jpg, чтобы наряду с любым событием А классу 1119913-662.jpg принадлежало бы и его дополнение 1119913-663.jpg и чтобы для любой бесконечной последовательности событий A1, A2, ... их объединение 1119913-664.jpg также было событием), а ф-ция P была счётно-аддитивной, т. е. чтобы вместе со свойством 3) имело место следующее: если события A1, A2, ... попарно несовместны, то 1119913-665.jpg1119913-666.jpg [это означает, что P является мерой на измеримом пространстве 1119913-667.jpg]. Тройка 1119913-668.jpg наз. вероятностным пространством. Очевидно, что элементарная В. т. является на самом деле частным случаем реализации этой схемы; её осн. определения остаются в силе и в общем случае. Одно из существ. отличий заключается в определении случайной величины 1119913-669.jpg: требуют, чтобы множества 1119913-670.jpg принадлежали классу 1119913-671.jpg при всех x. Для таких ф-ций X можно определить абстрактный интеграл Лебега, к-рый и наз. матем. ожиданием случайной величины X. Задавать случайную величину X удобнее всего с помощью её ф-ции распределения 1119913-672.jpg

Предельные теоремы. Осн. задача В. т.- находить по вероятностям одних случайных событий вероятности других, связанных к.-л. образом с первыми. Типичный пример-определение вероятности события 1119913-673.jpg1119913-674.jpg , где Xk - независимые случайные величины, имеющие одно и то же известное распределение. Однако при больших п непосредств. вычисление вероятности P(An )становится очень трудоёмким и практически невозможным. В таких случаях полезны предельные теоремы В. т., к-рые позволяют найти приближённые значения искомых вероятностей. Так, если в нашем примере матем. ожидание

1119913-675.jpg , то в силу закона больших

чисел при любых а< р < b вероятность P (An )с ростом п стремится к 1. Центральная предельная теорема уточняет этот результат: если дисперсия 1119913-676.jpg конечна, то случайная величина 1119914-1.jpg имеет приблизительно нормальное распределение со средним р и дисперсией 1119914-2.jpg , т. е. при 1119914-3.jpg1119914-4.jpg, 1119914-5.jpg и а<b вероятность события An стремится с ростом п к Ф (b) - Ф ( а). Т. о., для сходимости распределения случайной величины 1119914-6.jpg к нормальному достаточно лишь наличия у слагаемых Xk конечной дисперсии, а в остальном вид распределения Xk не важен; этим объясняется широта распространения нормального распределения в практич. применениях В. т. Не менее естеств. образом при суммировании случайных величин с бесконечной дисперсией в качестве предельных распределений появляются устойчивые распределения, отличные от нормального (напр., Коши распределение). На практике весьма полезны и т. н. теоремы о больших отклонениях, к-рые позволяют с высокой относит. точностью аппроксимировать малые вероятности. Осн. метод доказательства предельных теорем основан на использовании характеристических функций. Аналогичные предельные теоремы доказаны и для случайных векторов (в т. ч. бесконечномерных), известны также предельные теоремы для объектов более общей алгебраич. природы: случайных матриц, элементов группы и т. д. Кроме того, можно ослабить условие независимости 1119914-7.jpg

Случайные процессы. Одним из осн. разделов В. т. является теория случайных процессов и полей, важность к-рой обусловлена огромным кол-вом её приложений. Случайным процессом наз. однопараметрич. семейство случайных величин X(t).B большинстве приложений параметр t является временем, и термин "случайный процесс" относится именно к этому случаю; когда одномерный параметр t не имеет смысла времени, часто говорят о случайной функции, а в случае многомерного t - о случайном поле. Если параметр t целочисленный, то случайный процесс наз. случайной последовательностью или временным рядом. Случайный процесс, как и случайную величину, можно охарактеризовать его распределением; для этого достаточно задать его конечномерные распределения, т. е. совокупность совместных распределений случайных величин 1119914-8.jpg для всевозможных 1119914-9.jpg и п. Для случайных процессов, как и для случайных величин, доказано большое кол-во предельных теорем (иногда их наз. функциональными предельными теоремами).

Наиб. развита теория двух спец. классов случайных процессов, к-рые в то же время чаще всего встречаются в применениях: марковских случайных процессов и стационарных случайных процессов. Случайный процесс наз. марковским (или процессом без последействия), если для любых 1119914-10.jpg условное распределение X (t2 )при условии, что известно поведение X (t )при 1119914-11.jpg, зависит только от значения X(t1) (т. е. "будущее" при фиксиров. "настоящем" от "прошлого" не зависит). Такие процессы являются естеств. обобщением детерминиров. процессов, рассматриваемых, напр., в классич. механике, для к-рых состояния системы в моменты времени 1119914-12.jpg однозначно определяются её состоянием в момент t1; мн. задачи для марковских процессов сводятся к дифференц. ур-ниям для ф-ций, определяющих распределения вероятностей процессов.

Стационарность случайного процесса означает неизменность во времени его вероятностных закономерностей. В В. т. рассматривают два вида стационарности: стационарность в узком смысле, когда конечномерные распределения инвариантны относительно сдвига времени, и стационарность в широком смысле, когда от времени t не зависят лишь матем. ожидания 1119914-13.jpg и 1119914-14.jpg . На практике чаще используют предположение о стационарности в широком смысле.

Важнейшей областью применения результатов В. т. и источником новых задач для неё является математическая статистика - раздел математики, посвящённый матем. методам обработки и использования статистич. данных. Типичными для матем. статистики являются задачи, в известном смысле обратные задачам В. т.: если в последней, напр., требуется, зная "природу" случайного явления (распределение соотв. вероятностей), указать, как будут себя вести наблюдаемые в эксперименте характеристики этого явления, то в матем. статистике, наоборот, требуется по эксперим. данным сделать выводы о природе случайного явления. Осн. задачами матем. статистики являются статистическое оценивание и проверка статистических гипотез.

Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., M., 1969; Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., т. 1-2, [3 изд.], M., 1984; Смирнов H. В., Дунин Барковский И. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений, 3 изд., M., 1969; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., M., 1973; Боровков А. А., Теория вероятностей, M., 1976.

К. А. Боровков.


Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ" в других словарях:

  • ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ — раздел математики, в котором по данным вероятностям одних случайных событий находят вероятности других событий, связанных каким либо образом с первыми. Теория вероятностей изучает также случайные величины и случайные процессы. Одна из основных… …   Большой Энциклопедический словарь

  • вероятностей теория — раздел математики, в котором по данным вероятностям одних случайных событий находят вероятности других событий, связанных каким либо образом с первыми. Теория вероятностей изучает также случайные величины и случайные процессы. Одна из основных… …   Энциклопедический словарь

  • Вероятностей теория — Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Содержание 1 История 2 Основные понятия теории 3 См. также …   Википедия

  • ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ — занимается изучением событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о разумности ожидания наступления одних событий по сравнению с другими, хотя приписывание численных значений вероятностям событий часто бывает излишним… …   Энциклопедия Кольера

  • ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ — математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных к. л. образом с первыми. Утверждение о том, что к. л. событие наступает с вероятностью, равной, напр., 1/2, еще не… …   Математическая энциклопедия

  • Вероятностей теория —         математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким либо образом с первыми.          Утверждение о том, что какое либо событие наступает с Вероятностью,… …   Большая советская энциклопедия

  • ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ — математическая концепция, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных сложными, нелинейными зависимостями с первыми. Теория вероятностей особенно широко применима при исследовании… …   Энциклопедический словарь по психологии и педагогике

  • вероятностей теория — математическая концепция, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных сложными, нелинейными зависимостями с первыми. Теория вероятностей особенно широко применима при исследовании… …   Этнопсихологический словарь

  • Вероятностей теория —    раздел математики, в к ром поданным вероятностей одних случайных событий находят вероятности в др. событий, связанных каким либо образом с первыми. В.т. изучает также случайные величины и случайные процессы. Одна из основных задач В.т. состоит …   Криминалистическая энциклопедия

  • ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ — раздел математики, в к ром по данным вероятностям одних случайных событий находят вероятности др. событий, связанных к. л. образом с первыми. В. т. изучает также случайные величины и случайные процессы. Одна из осн. задач В. т. состоит в… …   Большой энциклопедический политехнический словарь


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»