- ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
- непрерывное сосредоточенное на положительной полуоси
распределение вероятностей с плотностью
где
- параметр, принимающий положительные значения, и
- гамма-функция Эйлера
Соответствующая функция распределения при
равна нулю, а при
выражается формулой
Интеграл в правой части наз. неполной гамма-функцией. Плотность
унимодальна и при
достигает максимума
в точке
. При
плотность
с ростом хмонотонно убывает, причем если
неограниченно возрастает. Характеристич. функция Г.-р. имеет вид
Моменты Г.-р. выражаются формулой
в частности, математич. ожидание и дисперсия равны
. Г.-р. замкнуто относительно операции свертки:
Г.-р. играют не всегда явную, но значительную роль в приложениях. В частном случае
получается показательная плотность. В теории массового обслуживания Г.-р. при К, принимающем целочисленные значения, наз. Эрланга распределением. В математич. статистике Г.-р. часто встречаются благодаря тесной связи с нормальным распределением, т. к. сумма квадратов
взаимно независимых (0,1) нормально распределенных случайных величин имеет плотность
и наз. хи-квадрат плотностью с пстепенями свободы. Ввиду этого с Г.-р. связаны многие важные распределения в задачах математич. статистики, где рассматриваются квадратичные формы от нормально распределенных случайных величин (напр., Стьюдента распределение, F -распределение и z-распределение Фишера). Если X1 и Х 2 независимы и распределены с плотностями
и
, то случайная величина
имеет плотность
к-рая наз. плотностью бета-распределения. Плотности линейных функций
от случайных величин X, подчиняющихся Г.-р., составляют специальный класс распределений - так наз. "тип III" семейства распределений К. Пирсона (К. Pear-son). Плотность Г.-р. является весовой функцией системы ортогональных многочленов Лагерра. Значения функции Г.-р. можно вычислить по таблицам неполной гамма-функции (см. [1]).
Лит.:[1] Пагурова В. И., Таблицы неполной гамма-функции, М., 1963. А. <В. <Прохоров.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.