- ВЫЧЕТ-ФОРМА
форма-вычет,- обобщение понятия вычета аналитич. функции одного комплексного переменного на случай многих переменных. Пусть X - комплексное аналитич. многообразие, S - его аналитич. одмногообразие комплексной коразмерности 1 и пусть
-замкнутая внешняя дифференциальная форма класса
на
, имеющая на Sполярную особенность 1-го порядка. Последнее означает, что для функции
, голоморфной от хв окрестности
точки
и такой, что
форма
принадлежит классу
. При этих условиях в окрестности Uлюбой точки
существуют такие формы
класса
, что
причем есть замкнутая форма класса
, зависящая
только от
. Замкнутая форма на
, определяемая в окрестности каждой точки
, сужением
, наз. вычет-формой формы
и обозначается
Если форма
голоморфна, то и ее В.-ф. голоморфна. Напр., для
и формы
где f, s- голоморфные функции в
, grad
на S, В.-ф. равна
в точках, где
Для В.-ф. имеет место формула вычета:
где
- произвольный цикл в Sразмерности, равной степени
,
- цикл в
- граница нек-рой цепи в X, находящейся в общем положении с Sи пересекающейся с
Кратная В.-ф.
определяется по индукции.
Вычет-класc (или класс-вычет) замкнутой в
формы
есть класс когомологий подмногообразия S, образованный В.-ф. форм класса
в
, когомологичных
и имеющих на Sполярную особенность 1-го порядка. Вычет-класс формы
обозначается
Вычет-класс голоморфной формы может не содержать голоморфной формы, так что в общем случае нельзя ограничиться рассмотрением кольца голоморфных форм вместо кольца замкнутых форм. Однако это возможно, если X - Штейна многообразие. Вычет-класс
не зависит от выбора со из одного и того же класса когомологий и осуществляет гомоморфизм группы классов когомологий многообразия
в группу классов когомологий многообразия S:
Как и для В.-ф., справедлива формула вычета:
причем интеграл в правой части берется от любой формы из вычет-класса Res [w] и не зависит от ее выбора. Лит. см. при ст. Вычет аналитической функции [7], [8], [4].
А. П. Южаков.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.