- ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ
частный случай n-той вариации функционала (см. также Гато вариация), обобщающий понятие второй производной функции нескольких переменных; используется в вариационном исчислении. Согласно общему определению В. в. в точке х 0 функционала f(x), определенного в нормированном пространстве X, есть
При равенстве нулю первой вариации неотрицательность В. в. является необходимым, а строгая положительность
при нек-рых допущениях - достаточным условием локального минимума
в точке 
.
В простейшей (векторной) задаче классического вариационного исчисления В. в. функционала
(рассматриваемого на векторных функциях класса
с закрепленными краевыми значениями 
) имеет вид:
где
означает стандартное скалярное произведение в 
- матрицы с коэффициентами соответственно (производные вычисляются 
в точках кривой 
). Целесообразно рассматривать функционал от h, определяемый формулой (*), не только в пространстве С 1, но и на более широком пространстве 
абсолютно непрерывных векторных функций с интегрируемым квадратом модуля производной. В этом случае неотрицательность и строгая положительность В. в. формулируются в терминах неотрицательности и строгой положительности матрицы 
(Лежандра условие).и отсутствия српряженных точек (Якоби условие), что дает условия слабого минимума в вариационном исчислении.
Для вариационного исчисления в целом было проведено исследование В. в. для экстремалей-, не обязательно доставляющих минимум (однако, по-прежнему,- при выполнении условия Лежандра, см. [1]). Важнейший результат - совпадение Морса индекса В. в. и числа точек, сопряженных с
, на интервале 
(см. [2]).
Лит.: [1] Morse M., The calculus of variations in the large, N. Y., 1934; [2] Милнор Дж., Теория Морса, пер. с англ., М., 1965. В. М. Тихомиров.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
