- ВАРИАЦИЯ МНОЖЕСТВА
число, характеризующее k-мерную протяженность множества в n-мерном евклидовом пространстве. Нулевая вариация
замкнутого ограниченного множества Еесть число компонент этого множества.
Для простейшего случая плоскости линейная вариация множества (то есть В. м. порядка 1)
есть интеграл ,
от функции
где интегрирование ведется по прямой
, проходящей через начало координат,
- угол наклона
к фиксированной оси и
- прямая, перпендикулярная к
и пересекающая ее. в точке
. Нормирующая константа свыбирается так, чтобы вариация
отрезка Есовпадала с его длиной. Для достаточно простых множеств, напр, спрямляемых кривых, В. м. равна длине кривой. Для замкнутой области Есо спрямляемой границей Г линейная В. м.
равна половине длины Г. Вторая В. м. (то есть В. м. порядка 2) есть двумерная мера множества
и
при
.
Для я-мерного евклидова пространства вариацией
порядка
ограниченного замкнутого множества
наз. интеграл
от нулевой вариации пересечения
с
-мерной плоскостью
по пространству
всех
-мерных плоскостей из
, с Хаара мерой
, нормированной так, чтобы единичный k-мерный куб
имел В. м.
В.
м.
совпадает с re-мерной мерой Лебега множества Е. Для выпуклых тел В. м. при надлежащей нормировке совпадает со смешанными объемами Минковского (см. [4]).
Свойства В. м. 1) Для
В. м.
не зависит от того, вычисляется она для
или для
2) В. м. выражаются индуктивно по формуле
где
- нормирующая константа.
3) Условие
влечет
4) В. м. (в известном смысле) не зависят друг от друга, т. е. для любой последовательности чисел
где
- целое,
можно построить множество
, для к-рого
5)
если
и
не пересекаются. В общем случае
Для
В. м.
не монотонны, т. е. может оказаться, что
для
.
6) В. м. полунепрерывны, т. е. если последовательность замкнутых ограниченных множеств
сходится (в смысле метрики уклонений) к множеству
, то
а если, к тому же, равномерно ограничены суммы
то
7) В. м.
совпадаете k-мерной Хаусдорфа мерой множества Е, если
, а
.
Эти условия выполняются, напр., для дважды гладких многообразий.
Понятие В. м. возникло в связи с исследованием решений системы Коши - Римана и в окончательной формулировке принадлежит А. Г. Витушкину. В. м. оказалась полезным аппаратом при решении нек-рых задач анализа, в частности при изучении суперпозиций функций многих переменных (см. [1]), а также в вопросах аппроксимации (см. [2]).
Лит.:[1] Витушкин А. Г., О многомерных вариациях, М., 1955; [2] его же, Оценка сложности задачи табулирования, М., 1959; [31 его же, "Докл. АН СССР", 1966, т. 166, К5, с. 1022-25; [4] Леонтович А. М., Мельников М. С., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1965, т. 14, с. 306-37; [5] Иванов Л. Д., "Матем. сб.", 1967, т. 72(114), № 3, с. 445-70; [6] его же, там же, 1969, т. 78(120), №1, с. 85-100.
А. Г. Витушкин, Л. Д. Иванов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.