ВАРИАЦИЯ МНОЖЕСТВА

ВАРИАЦИЯ МНОЖЕСТВА

число, характеризующее k-мерную протяженность множества в n-мерном евклидовом пространстве. Нулевая вариация замкнутого ограниченного множества Еесть число компонент этого множества.

Для простейшего случая плоскости линейная вариация множества (то есть В. м. порядка 1) есть интеграл ,

от функции


где интегрирование ведется по прямой , проходящей через начало координат,- угол наклона к фиксированной оси и - прямая, перпендикулярная к и пересекающая ее. в точке . Нормирующая константа свыбирается так, чтобы вариация отрезка Есовпадала с его длиной. Для достаточно простых множеств, напр, спрямляемых кривых, В. м. равна длине кривой. Для замкнутой области Есо спрямляемой границей Г линейная В. м. равна половине длины Г. Вторая В. м. (то есть В. м. порядка 2) есть двумерная мера множества и при .

Для я-мерного евклидова пространства вариацией порядка ограниченного замкнутого множества наз. интеграл


от нулевой вариации пересечения с -мерной плоскостью по пространству всех -мерных плоскостей из , с Хаара мерой, нормированной так, чтобы единичный k-мерный куб имел В. м.

В. м. совпадает с re-мерной мерой Лебега множества Е. Для выпуклых тел В. м. при надлежащей нормировке совпадает со смешанными объемами Минковского (см. [4]).

Свойства В. м. 1) Для В. м. не зависит от того, вычисляется она для или для

2) В. м. выражаются индуктивно по формуле


где - нормирующая константа.

3) Условие влечет

4) В. м. (в известном смысле) не зависят друг от друга, т. е. для любой последовательности чисел где - целое, можно построить множество , для к-рого

5) если и не пересекаются. В общем случае

Для В. м. не монотонны, т. е. может оказаться, что для .

6) В. м. полунепрерывны, т. е. если последовательность замкнутых ограниченных множеств сходится (в смысле метрики уклонений) к множеству , то


а если, к тому же, равномерно ограничены суммы то


7) В. м. совпадаете k-мерной Хаусдорфа мерой множества Е, если , а

.

Эти условия выполняются, напр., для дважды гладких многообразий.

Понятие В. м. возникло в связи с исследованием решений системы Коши - Римана и в окончательной формулировке принадлежит А. Г. Витушкину. В. м. оказалась полезным аппаратом при решении нек-рых задач анализа, в частности при изучении суперпозиций функций многих переменных (см. [1]), а также в вопросах аппроксимации (см. [2]).

Лит.:[1] Витушкин А. Г., О многомерных вариациях, М., 1955; [2] его же, Оценка сложности задачи табулирования, М., 1959; [31 его же, "Докл. АН СССР", 1966, т. 166, К5, с. 1022-25; [4] Леонтович А. М., Мельников М. С., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1965, т. 14, с. 306-37; [5] Иванов Л. Д., "Матем. сб.", 1967, т. 72(114), № 3, с. 445-70; [6] его же, там же, 1969, т. 78(120), №1, с. 85-100.

А. Г. Витушкин, Л. Д. Иванов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "ВАРИАЦИЯ МНОЖЕСТВА" в других словарях:

  • Вариация множества — Вариация множества  число, характеризующее мерную протяженность множества в мерном евклидовом пространстве. Нулевая вариация множества замкнутого ограниченного множества   это число компонент этого множества. Для простейшего случая… …   Википедия

  • Вариация — Вариацией (от лат. variatio  изменение, перемена) вообще называется разновидность чего либо, небольшое изменение или отклонение. Существуют также более специфические значения этого термина: В музыке: Вариационная форма  музыкальная …   Википедия

  • Вариация отображения — Вариация отображения  числовая характеристика отображения, связанная с его дифференциальными свойствами. Понятие «вариация отображения» было определено С. Банахом[1]. Двухмерный случай Рассмотрим определение вариации отображения для… …   Википедия

  • ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИИ — числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с ее дифференциальными свойствами. 1) Пусть функция действительного переменного х, заданная на отрезке ; ее вариация есть точная верхняя грань сумм вида где… …   Математическая энциклопедия

  • ВАРИАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЯ — числовая характеристика отображения, связанная с его дифференциальными свойствами. Определена С. Банахом [1]. Ниже дается определение лишь для двумерного случая. Рассмотрим отображение где и непрерывные на квадрате X функции. Говорят, что… …   Математическая энциклопедия

  • РЕГУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВА — аддитивная функция m, определенная на системе множеств топологич. пространства, полная вариация к рой удовлетворяет условию где внутренность множества замыкание множества F(E, G, F из области определения m). Ограниченная аддитивная Р. ф. м.,… …   Математическая энциклопедия

  • АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ — 1) А. н. интеграла свойство неопределенного интеграла (Лебега). Пусть функция f интегрируема на множестве Е. Интеграл от f на измеримых подмножествах является абсолютно непрерывной функцией (см. ниже п. 3) множества относительно меры m, т. е. для …   Математическая энциклопедия

  • МЫШЦЫ — МЫШЦЫ. I. Гистология. Общеморфодогически ткань сократительного вещества характеризуется наличием диференцировки в протоплазме ее элементов специфич. фибрилярной структуры; последние пространственно ориентированы в направлении их сокращения и… …   Большая медицинская энциклопедия

  • ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел мате .матики, посвященный исследованию методов отыскания экстремумов функционалов, зависящих от выбора одной или нескольких функций при разного рода ограничениях (фазовых, дифференциальных, интегральных И т. п.), накладываемых на эти… …   Математическая энциклопедия

  • Среднеквадратическое отклонение — (синонимы: среднеквадратичное отклонение, квадратичное отклонение; близкие термины: стандартное отклонение, стандартный разброс)  в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»