Тождества Уорда

Тождества Уорда — Такахаши — Славнова — Тейлора — соотношения между вакуумными средними хронологических произведений операторов поля, обеспечивающие калибровочную инвариантность квантовой теории. В квантовой электродинамике эти соотношения, называемые Уорда тождествами и тождествами Уорда — Такахаши, являются прямым следствием сохранения тока, с которым взаимодействует калибровочное поле. Они выражают дивергенцию функции Грина с $n$ внешними фотонными линиями через функции Грина с $n - 1$ внешей фотонной линией. Простейшее тождество Уорда — Такахаши, связывающее вершинную часть $\Gamma_\mu$ и собственную энергию электрона $\Sigma$, имеет вид:

$\Gamma_\mu (p,p) = - \frac{\partial}{\partial p^\mu} \Sigma(p) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

где $p$ — 4-импульс электрона. Из тождества Уорда — Такахаши следуют соотношения между константами перенормировки: $\delta m = 0, \ Z_1 = Z_2$ , где $\delta m,\ Z_1,\ Z_2$ — соответственно константы перенормировки массы фотона, вершинной функции, волновой функции электрона.

В отличие от электродинамики, в квантовой теории неабелевых калибровочных полей ток, с которым взаимодействует поле Янга — Миллса, не сохраняется. Поэтому простые тождества типа (1) не справедливы. Их аналогом являются тождества Славнова-Тейлора, выражающие дивергенцию функции Грина с n внешними линиями поля Янга — Миллса через функции Грина с числом внешних линий $\geqslant n$, включающие помимо полей Янга — Миллса вспомогательые поля (духи Фаддеева — Попова). Тождества Славнова — Тейлора для полей Янга — Миллса можно записать в виде:

$\int \exp \left[ i \int \left( \mathcal{L}(A) + \frac{1}{2 \alpha} (\partial_\mu A_\mu)^2 + \mathcal{L}_c + I_\mu^a A_\mu^a \right) dx \right] \left[-\frac{1}{\alpha} \partial_{\mu}A_{\mu}^a(x) \right. +$

$+ \left. \int \bar{c}^a(x) I_{\mu}^b \left( \partial_{\mu} c^b(y) g t^{bcd} A_{\mu}^c(y)c^d(y) \right) d y \right] d A d \bar{c} d c \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2)$

где $\mathcal{L}(A)$ — классический лагранжиан Янга — Миллса, $\mathcal{L}_c$ — лагранжиан духов Фаддеева — Попова, $c$, $\bar{c}$ — духи Фаддеева — Попова; $I$ — внешние источники, $g$ — константа взаимодействия.

Из тождеств Славнова — Тейлора следуют соотношения между константами перенормировки полей Янга — Миллса и духов Фаддеева — Попова: $\delta m = 0,\ Z_1 Z_2^{-1} = \tilde{Z}_1 \tilde{Z}_2^{-1}, \ Z_4 = Z_1^2 Z_2^{-1}$, где $\delta m$ — константа перенормировки массы поля Янга — Миллса, $Z_2, Z_1, Z_4$ — соответственно константы перенормировки волновой функции и вершинных частей с тремя и четырьмя внешними линиями поля Янга — Миллса, а $\tilde{Z}_1 \tilde{Z}_2$ — константы перенормировки волновой функции духов Фаддеева — Попова и вершинной части с одной внешней линией поля Янга — Миллса и двумя линиями духов Фаддеева — Попова.

Тождества Славнова — Тейлора выражают симметрию эффективного действия, стоящего в экспоненте в формуле (2), относительно преобразований, перепутывающих поля Янга — Миллса и духи Фаддеева — Попова, — так называемых преобразований БРСТ (Бекки — Рюэ — Стора — Тютин). Эти тождества гарантируют калибровочную инвариантность перенормированной теории и играют ключевую роль в доказательстве унитарности матрицы рассеяния.

Литература

1. Физическая энциклопедия под ред. А. М. Прохорова.
2. Тейлор Дж., Калибровочные теории слабых взаимодействий, пер. с англ., M., 1978
3. Славнов А. А., Фаддеев Л. Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей, 2 изд., M., 1988
4. Ициксон К., Зюбер Ж. Б., Квантовая теория поля, пер. с англ., т. 1-2, M., 1984.