ЯДЕРНАЯ С*-АЛГЕБРА

- С*-алгебра А, обладающая следующим свойством: для любой С*-алгебры . в алгебраическом тензорном произведении этих алгебр существует единственная норма, пополнение в к-рой превращает в С*-алгебру. Таким образом, Я. С*-а. по отношению к тензорным произведениям ведут себя подобно ядерным пространствам (хотя бесконечномерные Я. С'*-а. не являются ядерными пространствами). Класс Я. С*-а. <включает в себя все С*- алгебры типа 1. Этот класс замкнут относительно индуктивного предела. Если I - замкнутый двусторонний идеал в С*-алгебре А, то Аядерна тогда и только тогда, когда ядерны I и А/I. Подалгебра в Я. С*-а. не обязана быть Я. С*-а. Тензорное произведение С*-алгебр Аи В ядерно тогда и только тогда, когда Аи В(обе) являются Я. С*-а. Если G - аменабельная локально бикомпактная группа, то обертывающая С*-алгебра групповой алгебры L¹(G)ядерна (обратное неверно). Каждое факторпредставление Я. C*-а. гиперфинитно, т. е. порождаемая этим представлением Неймана алгебра может быть получена из возрастающей последовательности конечномерных факторов (матричных алгебр). Любое факторсостояние на ядерной С*-подалгебре в С*-алгебре продолжается до факторсостояния на всей алгебре.
Пусть L(H) есть С*-алгебра всех ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве H, . есть С*-алгебра операторов в Н. Если А - Я. C*-а., то ее слабое замыкание является инъективной алгеброй Неймана, т. е. существует проекция с единичной нормой; в этом случае коммутант А' алгебры Атакже инъективен. Произвольная С*-алгебра Аядерна тогда и только тогда, когда ее обертывающая алгебра Неймана инъективна.
С*-алгебра Аядерна тогда и только тогда, когда она обладает свойством вполне положительной аппроксимации, т. е. тождественный оператор в Ааппроксимируется в сильной операторной топологии линейными операторами конечного ранга с нормой, не превосходящей 1, и с нек-рым дополнительным свойством лвполне положительности