ЭЙЛЕРА ПОДСТАНОВКА

- замена переменной х=x(t) в интеграле

где - рациональная функция своих аргументов, сводящая этот интеграл к интегралу от рациональной функции и имеющая один из следующих трех видов. Первая подстановка Эйлера: если а>0, то

Вторая подстановка Эйлера: если корни х ₁ и x₂ квадратного трехчлена ах ²+bх+с действительные, то

Третья подстановка Эйлера: если c>0, то

(в правых частях равенств можно брать любые комбинации знаков). При всех Э. п. как старая переменная интегрирования x, так и радикал рационально выражаются через новую переменную t.
Две первые Э. п. позволяют всегда свести интеграл (1) к интегралу от рациональной функции на любом промежутке, на к-ром радикал пррнимает только действительные значения.
Геометрич. смысл Э. п. состоит в том, что кривая 2-го порядка

имеет рациональное параметрич. представление: именно, если за параметр tвзять угловые коэффициенты пучка секущих у-y₀=t(x-x₀), проходящих через точку (x₀,y₀) кривой (2), то координаты этой кривой будут рационально выражаться через переменную t. В случае, когда а>0 и, следовательно, кривая (2) является гиперболой, для того, чтобы получить 1-ю Э. п., за точку (x₀,y₀) следует взять одну из бесконечно удаленных точек, определяемых направлениями асимптот этой гиперболы; в случае, когда корни х ₁ и х ₂ квадратичного трехчлена ах²+bх+с действительны, для того, чтобы получить 2-ю Э. п., надо взять за точку (x₀,y₀) одну из точек (x₁.0) или (х ₂, 0); а в случае, когда с>0, чтобы получить 3-ю Э. п.- одну из точек пересечения кривой (2) с осью ординат, т. е. одну из точек

Л. Д. Кудрявцев.