УЗЛОВ КОБОРДИЗМ

(правильнее бордизм узлов, см. Бордизм) - отношение эквивалентности на множестве узлов, более слабое, чем изотопич. тип. Два гладких n-мерных узла и наз. кобордантными, если существует гладкое ориентированное (n+1)-мерное подмногообразие V многообразия причем V гомеоморфно

и

Здесь знак минус означает обращение ориентации. Узлы, кобордантные тривиальному узлу, наз. кобордантными нулю или срезанными узлами. Множество классов эквивалентности (кобордантности) n-мерных гладких узлов обозначается С _n. Операция несвязной суммы определяет во множестве С _п структуру абелевой группы. Обратным для класса У. к. (Sⁿ⁺³, kⁿ )служит класс У. к. (-S^k+2, - kⁿ).
При всех четных пгруппа СД равна нулю. Класс У. к. нечетномерного узла определяется его Зейферта матрицей. Квадратная целочисленная матрица Аназывается кобордантной нулю, если она унимодулярно конгруэнтна матрице вида где N₁, N₂, N₃ - квадратные матрицы одинакового размера, а 0 - нулевая матрица. Две квадратные матрицы А ₁ и А ₂ наз. кобордантными, если матрица кобордантна нулю. Квадратная целочисленная матрица Аназ. -матрицей, где или -1, если Матрица Зейферта всякого (2q-1)-мерного узла является (- 1)^q -матрицей. Для всякого e отношение кобордантности является отношением эквивалентности на множестве всех -матриц. Множество классов эквивалентности обозначается через Операция прямой суммы определяет в структуру абелевой группы. Имеется гомоморфизм Левина: к-рый сопоставляет классу У. к. Ккласс кобордизмов матрицы Зейферта узла К. Гомоморфизм Левина является изоморфизмом при всех Гомоморфизм j₂:С ₃-> является мономорфизмом, и его образ является подгруппой индекса 2 в G₊ , состоящей из классов (+1)-матриц А, для к-рых сигнатура матрицы A+A' делится на 16. Гомоморфизм является эпиморфизмом; его ядро нетривиально.
Для изучения строения групп G₊ и G_- и построения полной системы инвариантов класса У. к. используется следующая конструкция. Изометрической структурой над полем Fназ. пара (<, >; Т),состоящая из невырожденной квадратичной формы <, >, заданной на конечномерном векторном пространстве Vнад полем F, и ее изометрии Изомотрич. структура (<, >; Т)наз. кобордантной нулю, если V содержит вполне изотропное инвариантное относительно . подпространство половинной размерности. Операции ортогональной суммы форм и прямой суммы изометрий определяют во множестве изометрич. структур операцию Две изометрич. структуры и наз. кобордантными, если изометрич. структура кобордантна нулю. Пусть G_F - множество классов кобордизмов изометрических структур удовлетворяющих условию где - характеристич. многочлен изометрий Т. В изучении групп G₊ и G_- важную роль играют вложения и к-рые строятся следующим образом. Каждый класс кобордизмов -матриц содержит невырожденную матрицу. Если А - невырожденная e-матрица, то пусть Q=A+A' и - изометрич. структура, в к-рой форма задается матрицей Q, а изометрня Т - матрицей В. Это сопоставление корректно определяет гомоморфизмы и
Пусть - изометрич. структура на векторном пространстве Vи Пусть обозначает -примерную компоненту пространства V, т. е. для большего N. Многочлен наз. возвратным, если a_i=a_k-i при всех i. Для каждого неприводимого возвратного многочлена через обозначается приведенный по mod 2 показатель, с к-рым входит в характеристич. многочлен изометрий Т. Для каждого возвратного неприводимого в многочлена обозначается через сигнатура сужения формы на Для каждого простого числа ри возвратного неприводимого в многочлена пусть сужение формы на где - поле р-адических чисел. Пусть

где (,) - символ Гильберта в - символ Хассе, 2r - ранг Две изометрич. структуры кобордантны тогда и только тогда, когда для всех и р, для к-рых эти инварианты определены (см. [3], [4]).
Композиция гомоморфизма Левина, гомоморфизма и функций сопоставляет каждому нечетномерному узлу Кчисла Два (2q-1)-мерных узла К ₁ и K₂, где q>1, кобордантны тогда и только тогда, когда

для всех и р, для к-рых эти инварианты определены равна сигнатуре узла K (см. Узлов и зацеплений квадратичные формы). где сумма берется по всем вида где и в этой сумме лишь конечное число слагаемых отлично от нуля.
Аналогичным образом определяются группы кобордизмов локально плоских и кусочно линейных, к-рые обозначаются и соответственно. При всех пимеется изоморфизм Естественное отображение является изоморфизмом при а при п=3 оно является мономорфизмом с образом индекса 2. Это, в частности, означает существование несглаживаемых локально плоских топологических трехмерных узлов в S⁵ (см. [5]).
Теория У. к. связана с изучением особенностей не локально плоских и кусочно линейных вложений коразмерности 2. Если . есть (n+1)-мерное ориентированное многообразие, вложенное как подкомплекс в (n+3)-мерное многообразие М, и N - малая звездная окрестность хв М, то особенность вложения Рв Мв точке хизмеряется следующим образом. Край является (n+2)-мерной сферой, ориентация к-рой определяется ориентацией М; является п-мерной сферой, ориентация к-рой определяется ориентацией Р. Таким образом, возникает n-мерный узел к-рый наз. особенностью вложения в точке х.

Лит.:[1] Fох R. H., Мilnоr J. W., лOsaka J. Math.