- ТОМА КАТАСТРОФЫ
- особенности дифференцируемых отображений, классификация к-рых была анонсирована Р. Томом [1] при рассмотрении им градиентных динамич. систем и аналогичная списку критических точек коразмерности
дифференцируемых функций. Исходная формулировка результата Тома: 4-параметрические семейства функций в типичном случае устойчивы и с точностью до знака и замены переменных задаются в окрестности критич. точки одним из семи выражений (см. табл.).
ОбозначениеКоразмерностьКорангРостокУниверсальная деформацияНазваниеA211х 3 + у2ихСкладкаА 321х 4 + у2ux + vx2СборкаА 431х 5 + у2их + vx2 + их3ЛасточкинD-432х 3 + ху2ux + vx2 + wyГиперболич. омбиликаD+432х 3 - ху2ux+vx2 + wyЭллиптич. омбиликаА 542x6 + у2ux + vx2 + +wx3+ tx4БабочкаD542х 4 + ху 2ux + vx2 + + wx3 + tyПарабол ич. омбиликаРостки, отвечающие Т. к., являются конечно определенными (точнее, 6-определенными: в подходящих координатах они записываются как многочлены от двух переменных степени
Коразмерность codim служит мерой сложности критич. точек; любое достаточно малое возмущение функции f с codim-r приводит к функции, имеющей не более r критич. точки. Коразмерностью особенности (т. <е. ростка f, для к-рого f(0)=Df(0)=0) наз. число
где 
- идеал, порожденный ростками 
Напр., если f=xN, то 
и базисом 
служат смежные классы элементов х, х2, . . ., xN-2, так что codim=2.
Имеет место неравенство codim
где с - коранг гессиана 
отсюда, в частности, если 
то 
Конечная определенность (достаточность) ростка, грубо говоря, означает, что он определяется с точностью до гладких замен координат своей струей. Точнее, росток f наз. k-определенным, если каждый росток f', имеющий ту же k-струю (т. е. отрезок ряда Тейлора до членов порядка
что и f, правоэквивалентен f (см. |2]). Для конечной определенности ростка необходима и достаточна конечность его коразмерности. В частности, если codim=r, то f является (r+2)-определенным (отсюда 6-определенности при 
Т. к., в отличие от случая общего положения, являются вырожденными особенностями (т. е. гессиан в них вырожден), и от них можно, как указывалось, избавиться малым возмущением. Однако для многих практически важных случаев, равно как и в теоретич. плане, представляет интерес не индивидуальный объект, а семейство таковых, зависящее от нескольких луправляющих
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
