- СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ МЕТОД
-метод вычисления асимптотики интегралов от быстро осциллирующих функций:
где
- большой параметр,
- ограниченная область, функция S(x) (фаза) действительная, функция f(х) комплексная, и
Если
т. е. f финитна, и фаза S(x)не имеет стационарных точек (т. е. точек, в к-рых S' (х) = 0) на носителе supp f, то
Поэтому основной вклад в асимптотику интеграла (*) привносят точки стационарной фазы и граница
Вкладом от изолированной стационарной точки x0 н от границы наз. соответственно интегралы
гдевблизи точки x0 и
не содержит других стационарных точек,
и
в нек-рой окрестности границы. При п=1,
имеем:
еслиесли x0 - внутренняя точка отрезка
и
Полностью исследован случай, когда п=1, фаза Sимеет конечное число стационарных точек, все они конечной кратности, и функция f имеет нули конечной кратности в этих точках и на концах отрезкаПолучены асимптотич. разложения. Исследован случай, когда функции f, . имеют степенные особенности: напр.,
где f1, S1 - гладкие при x=0 функции,
Пусть- невырожденная стационарная точка (т. е.
Тогда вклад от точки x0 равен
где- сигнатура матрицы S" (x0). Имеется также асимптотич. ряд для
(формулы для вклада
в случае гладкой границы см. [5]). Если
- стационарная точка конечной кратности, то (см. [6])
где rk - рациональные числа,Исследованы вырожденные стационарные точки (см. [3], [4]).
Исследован случаи, когда фазазависит от действительного параметра
и при малых
имеет две близкие невырожденные стационарные точки. В этом случае асимптотика интеграла
выражается через функции Эйри (см. [5]). Имеется операторный вариант С. ф. м.:
где А- инфинитезимальный оператор сильно непрерывной группы
ограниченных на оси
операторов, действующих в банаховом пространстве В, и f(x),S (х) - гладкие функции со значениями в В[9]. Если функции аналитические, то С. ф. м. есть частный случай перевала, метода.
Лит.:[1] Тhоmsоn W., лPhilos. Mag.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.