СПЕКТРАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ

восстановление инвариантных подпространств семейства линейных операторов по содержащимся в них собственным или корневым подпространствам этого семейства. Точнее, пусть - коммутативное семейство операторов в топологическом векторном пространстве X, - его точечный спектр, т. е. совокупность числовых функций на для к-рых собственные подпространства

отличны от нулевого,

корневые подпространства, соответствующие точкам Подпространство инвариантное относительно допускает С. с., если Lсовпадает с замыканием содержащихся в ном корневых подпространств. Если все -инвариантные подпространства допускают С. с., то говорят, что само семейство допускает С. с.
Примером семейства, допускающего С. с., является всякая компактная коммутативная группа операторов в банаховом пространстве и, более общо, всякая группа с. относительно компактными траекториями. Если то всякое одноэлементное семейство допускает С. с. ввиду существования жордннова разложения. В общем случае, для того чтобы оператор допускал С. с.., необходимо, по крайней мере, потребовать, чтобы все пространство Xдопускало С. <с. <относительно А, т. е. чтобы Аимел полную систему корневых подпространств. Условие полноты, однако, не обеспечивает возможности С. с. даже для нормальных операторов в гильбертовом пространстве; для того чтобы нормальный оператор Адопускал С. с., необходимо и достаточно, чтобы не содержал носителя меры, ортогональной многочленам. Ото условие выполняется тогда и только тогда, когда для любой области найдется функция f, аналитическая в G, для к-рой

В частности полные унитарные и полные самосопряженные операторы допускают С. с. Допускают С. с. и полные операторы, лблизкие