СКАЧКООБРАЗНЫЙ ПРОЦЕСС

случайный процесс, к-рый изменяет свое состояние только в случайные моменты времени, образующие возрастающую последовательность. Иногда термин "С. п." относят к любому процессу с кусочно постоянными траекториями.

Важный класс С. п. образуют марковские С. п. Марковский процесс является С. п., если его переходная функция P(s, x, t, В).такова, что

где I_b(x) - индикатор множества Вв фазовом пространстве , и выполнены условия регулярности, заключающиеся в том, что сходимость в (1) равномерна и ядро q(s, х, В).удовлетворяет нек-рым требованиям ограниченности и непрерывности.

Пусть

и П (t, х, В)=0 -в противном случае. Введенные величины допускают следующую интерпретацию: с точностью до о(Dt) (при ) a(t, x)Dt есть вероятность того, что в промежуток времени (t, t+Dt). процесс покинет состояние х; П(f, х, В), когда a(t, x)>0, есть условная вероятность попадания процесса во множество В при условии, что в момент tон покидает состояние x.

При выполнении условий регулярности переходная функция С. п. дифференцируема по tпри t>s,no sпри s<t и удовлетворяет прямому и обратному уравнениям Колмогорова с соответствующими граничными условиями:

Пусть - непрерывный справа строго марковский С. п., Т _n - момент n-го скачка процесса, T₀=0, Y_n=X_Tn,S_n - время пребывания в n-м состоянии, - момент обрыва, , где d - точка вне Е. Тогда последовательность ( Т _п, Y_n).образует однородную цепь Маркова. При этом если X - однородный марковский процесс, то распределение S_n при заданном Y_n=x - показательное с параметром l(x).

Естественным обобщением марковских С. п. являются полумарковские С. п., для к-рых последовательность (УД) является цепью Маркова, однако время пребывания в n-м состоянии зависит от Y_n и Y_n+1 и имеет произвольное распределение.

При исследовании общих С. п. оказался плодотворным т. н. мартингальный подход. В рамках итого подхода удается получить содержательные результаты без дополнительных предположений о вероятностной структуре С. п. При мартингальном подходе предполагается, что на вероятностном пространстве где задан С. п. X, фиксировано неубывающее непрерывное справа семейство s-алгебр , причем для каждого tслучайная величина Х _t является - измеримой и, значит, моменты Т _n- марковскими.

Пусть - предсказуемая s-алгебра на . Случайная мера hна наз. предсказуемой, если для любой неотрицательной - измеримой функции f процесс , где

является предсказуемым.

Пусть m=m(dt, dx) - мера скачков процесса X, т. е. целочисленная случайная мера на , определенная равенством

При весьма широких предположениях на (выполненных, в частности, когда Е - полное сепара-бельнос метрич. пространство с борелевской s-алгеброй

) существует предсказуемая случайная мера v=v(dt, dx).такая, что имеет место любое из следующих двух эквивалентных условий:

1) для любой неотрицательной -измеримой функции f;

2) при любых и процесс

является мартингалом, выходящим из нуля.

Предсказуемая случайная мера v определена однозначно с точностью до множества Р-меры нуль н наз. компенсатором (или дуальной предсказуемой проекцией) m. Можно выбрать такой вариант v, что

Пусть W - пространство траекторий С. п. X, принимающих значения в ,

Р ₀ - вероятностная мера, для к-рой выполнено (2). Тогда на найдется и притом единственная вероятностная мера Ртакая, что v является компенсатором m относительно Ри сужение Рна совпадает с Р ₀. Доказательство этого утверждения опирается на явную формулу, связывающую условные распределения величин ( Т _п, Y_n).и компенсатор, к-рый в ряде случаев оказывается более удобным средством для описания С. п. С. п. является процессом с независимыми приращениями тогда и только тогда, когда ему отвечает детерминированный компенсатор.

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Успехи матем. наук", 19:(8, т. 5, с.5 - 41; [2] Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 2, М., 1973; [3] Jасо J., Calcul stochastique et problemes de martingales, B.- [a.o.], 1979. Ю. М. Кабанов.