РЕДУКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО

такое однородное пространство G/Hсвязной группы Ли G, что в алгебре Ли группы G существует (H)-инвариантное подпространство, дополнительное к подалгебре , являющейся алгеброй Ли группы H. Выполнение любого из следующих условий достаточно для того, чтобы однородное пространство G/Hбыло Р. п.: 1) линейная группа (Н)вполне приводима, 2) на существует (H)-инвариантная билинейная форма, сужение к-рой на невырождено. В частности, всякое однородное риманово пространство является Р. п. Если M=G/H- Р. п. и группа G действует эффективно на М, то линейное представление изотропии группы Нв касательном пространстве М ₀ к многообразию Мв точке точно. С каждым инвариантным подпространством , дополнительным к , связаны две важные G-инвариантные аффинные связности на М:. к а н о н и ч е с к а я с в я зн о с т ь и е с т е с т в е н н а я с в я з н о с т ь б е з к р у ч е н и я. Канонич. связность на Р. п. M=G/H с фиксированным -инвариантным разложением - единственная G-инвариантная аффинная связность на М, обладающая тем свойством, что для любого вектора и любого репера ив точке o кривая (exp tX)uв главном расслоении реперов над Мгоризонтальна. Канонич. связность полна и множество се геодезических, проходящих через точку о, совпадает с множеством кривых вида (exp tX) о, где После естественного отождествления пространств и М ₀ тензор кривизны Rи тензор кручения Тканонич. связности определяются формулами и , где X, Y, , а через и обозначены проекции вектора на и соответственно. Тензорные поля Rи Тпараллельны относительно канонич. связности так же, как и любое другое G-инвариантное тензорное поле на М. Алгебра Ли линейной группы голономии (см. Голономии группа).канонич. связности на Mс опорной точкой опорождается множеством , где l - линейное представление изотропии алгебры Ли в пространстве М ₀. Всякое связное односвязное многообразие, снабженное полной аффинной связностью с параллельными полями кривизны и кручения, может быть представлено в виде Р. п., канонич. связность к-рого совпадает с заданной аффинной связностью. На Р. п. M=G/Hс фиксированным -инвариантным разложением существует единственная G-инвариантная аффинная связность с нулевым кручением, имеющая те же геодезические, что и канонич. связность. Эта связность наз. естественной с в я з н о с т ь ю б е з к р у ч ен и я на М(относительно разложения ). Однородное риманово или псевдориманово пространство M=G/Hназ. е с т е с т в е н н о р е д у к т и в н ы м, если оно допускает такое -инвариантное разложение , что

(*)

для всех , где В - невырожденная симметрическая билинейная форма на m, индуцированная римановой (псевдоримановой) структурой на Мпри естественном отождествлении пространств и . Если M=G/H- естественно редуктивное риманово или псевдориманово пространство с фиксированным инвариантным разложением , удовлетворяющим условию (*), то естественная связность без кручения совпадает с соответствующей римановой или псевдоримановой связностью на М. Если М - одно-связное естественно редуктивное однородное риманово пространство и - его разложение де Рама, то Мможет быть представлено в виде , причем и

Важным обобщением Р. п. являются v-редуктивные однородные пространства [4]. Однородное пространство наз. -р е д у к т и в н ы м, если его стационарная подалгебра допускает разложение в прямую сумму подпространств , где , причем в существует такое дополнительное к подпространство , что , где . При этом 1-редуктивные однородные пространства - это в точности Р. п.; примерами 2-редуктивных однородных пространств являются проективное и конформное пространства, на к-рых действуют группа проективных преобразований и группа конформных преобразований соответственно. Если есть -редуктивное однородное пространство и , то линейное представление изотропии алгебры Ли не является точным (так как при i>l) и, следовательно, на Мне существует G-инвариантной аффинной связности. Однако на -ре-дуктивном однородном пространстве существует каноническая G-инвариантная связность, слоем к-рой является однородное пространство нек-рой транзитивно-дифференциальной группы порядка (см. [4]).

Наряду с Р. п. рассматриваются также ч а с т и ч н о р е д у к т и в н ы е п р о с т р а н с т в а, т. е. такие однородные пространства , что существует разложение алгебры Ли в прямую сумму двух ненулевых -инвариантных подпространств, одно из к-рых содержит подалгебру (см. [5]).

Лит.:[1] К о б а я с и Ш., Н о м и д з у К., Основы дифференциальной геометрии, пер. с англ., т. 2, М., 1981; [2] Ра ш е в с к и й П. К., "Тр. Семинара по вект. и тенз. анализу", 1952, в. 9, с. 49-74; [3] N о m i z u K., "Amer. J. Math.", 1954, v. 76, № 1, p. 33-65; [4] К а н т о р И. Л., "Тр. Семинара по вект. и тенз. анализу", 1966, в. 13, с. 310-98; [5] В и н б е р г Э. Б., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1960, т. 9, с. 191-210.

Д. В, Алексеевский.