РИМАНА ТЕОРЕМА

РИМАНА ТЕОРЕМА

- 1) Р. т. о к о н ф о р м н о м о т о б р а ж е н и и: каковы бы ни были две односвязные области G1 и G2 расширенной комплексной плоскости , отличные от , а также от с какой-либо исключенной из нее точкой, найдется бесконечное число аналитических и однолистных в области G1 функций, каждая из к-рых осуществляет взаимно однозначное и конформное отображение G1. на G2. При этом для любой пары точек , и и любого действительного числа , найдется, и притом единственная, функция fэтого класса, для к-рой

Условие arg f'(a) = a геометрически означает, что каждый бесконечно малый вектор, выходящий из точки a, при отображении переходит в бесконечно малый вектор, направление к-рого образует с направлением исходного вектора угол a.

Р. т. является основной в теории конформных отображений и вообще в геометрич. теории функций комплексного переменного. Вместе со своими обобщениями на многосвязные области она имеет обширные применения в теории функций комплексного переменного, математич. физике, теории упругости, аэро- и гидромеханике, электро- и магнитостатике и т. д. Эта теорема для более общего случая односвяз-ных и, вообще говоря, неоднолистных областей над комплексной плоскостью была сформулирована Б. Риманом (В. Biemann, 1851). При этом вместо условий нормировки конформного отображения , обеспечивающих его единственность, в формулировке Б. Римана для той же цели использовались условия , где , а и w - наперед заданные точки границ областей G1 и G2 соответственно. Последние условия при современном определении понятия односвязной области не всегда корректны. Б. Риман доказывал свою теорему в значительной степени исходя из физич. представлений, к-рые его также убедили в важности этой теоремы для приложений. В современном понимании математич. строгость доказательству Б. Римана придал Д. Гильберт (D. Hilbert), обосновавший использованный Б. Риманом в его доказательстве т. н. Дирихле принцип.

См. также Конформное отображение.

Лит.:[1] Р и м а н Б., Соч., пер. с нем., М.-Л., 1948, с. 49-87; [2] П р и в а л о в И. И., Введение и теорию функций комплексного переменного, 12 изд., М., 1977; [3] Г о л у з и н Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966. Е. П. Долженко.

2) Р. т. о п е р е с т а н о в к е ч л е н о в р я д а: если ряд, члены к-рого являются действительными числами, сходится, но не абсолютно, то каково бы ни было число A, можно так переставить члены этого ряда, что сумма получившегося ряда будет равна А . Кроме того, члены ряда можно так переставить, что его сумма будет равна одной из наперед заданных бесконечностей со знаком или , а также так, что его сумма не будет равна ни , ни , но последовательность его частичных сумм будет бесконечно большой, и, наконец, так, что последовательность его частичных сумм не будет иметь ни конечного, ни бесконечного предела

(см. Ряд). Л. Д. Кудрявцев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "РИМАНА ТЕОРЕМА" в других словарях:

  • Теорема Римана — Известные теоремы Римана: Теорема Римана об отображении (о конформном отображении) Теорема Римана об устранимой особой точке Теорема Римана об условно сходящихся рядах …   Википедия

  • Теорема Римана об отображении — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Римана. Теорема Римана об отображении (в комплексном анализе именуемая просто теоремой Римана)  важнейший факт 2 мерной конформной геометрии и одномерного комплексного анализа. Пусть… …   Википедия

  • Теорема Римана об условно сходящихся рядах — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Римана. Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда. Пусть ряд сходится условно, тогда для любого числа S можно так поменять порядок… …   Википедия

  • Теорема Римана об устранимой особой точке — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Римана. Теорема Римана  утверждение из теории функций комплексной переменной о заполнении устранимого разрыва. Формулировка Допустим, что и аналитична в . Следующие пять условий… …   Википедия

  • РИМАНА - РОХА ТЕОРЕМА — теорема, позволяющая выразить эйлерову характеристику c(Е). локально свободного пучка Ена алгебраическом или аналитич. многообразии Xв терминах характеристич. классов Чжэня пучка Еи многообразия X. Она может быть применена для вычисления… …   Математическая энциклопедия

  • Теорема о распределении простых чисел — Теорема о распределении простых чисел  теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел. А именно, она утверждает, что функция распределения простых чисел (количество простых чисел на отрезке от 1 до n) …   Википедия

  • Теорема Мореры — представляет собой обращение (неполное) интегральной теоремы Коши и является одной из основных теорем теории функций комплексного переменного. Она может быть сформулирована так: Если функция комплексного переменного в области непрерывна и… …   Википедия

  • Теорема Салливана об отсутствии блуждающих компонент — множества Фату  доказанная Д. Салливаном в 1985 году теорема голоморфной динамики, утверждающая, что всякая компонента связности множества Фату предпериодична. Формулировка Теорема. Пусть   рациональное отображение сферы Римана в себя… …   Википедия

  • Теорема о перестановке ряда — Теорема о перестановке ряда: Перестановка абсолютно сходящегося ряда приводит к ряду с той же суммой. Доказательство Если ряд положительный, то …   Википедия

  • Теорема Тейлора — Экспоненциальная функция y = ex (сплошная красная линия) и соответствующий многочлен Тейлора четвёртого порядка (штрих пунктирная зелёная линия) вблизи начала координат …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»