Теорема о перестановке ряда

Теорема о перестановке ряда:

Перестановка абсолютно сходящегося ряда приводит к ряду с той же суммой.

Доказательство

Если ряд $\sum a_k$ положительный, то

$\sum_{k=1}^n a_m$_$\,k$$\leqslant \sum_{k=1}^N a_k,$

где $\,N :: = max \left\{m_1, m_2, ..., m_n\right\},$ и поэтому

$\sum_{k=1}^\infty a_m$_$\,k$$\leqslant \sum_{k=1}^\infty a_k.$

Следовательно, перестановка ряда не увеличивает суммы, а так как ряд $\sum a_k$ в свою очередь является перестановкой ряда $\sum a_m$_$\,k,$ то обе суммы совпадают.
Если ряд $\sum a_k$ знакопеременный, то на основании первой части доказательства

$\sum_{k=1}^\infty a_m$_$\,k$$= \sum_{k=1}^\infty b_m$_$\,k$$- \sum_{k=1}^\infty c_m$_$\,k$$= \sum_{k=1}^\infty b_k - \sum_{k=1}^\infty c_k = \sum_{k=1}^\infty a_k.$

См. также

• Теорема Римана об условно сходящихся рядах — противоположный результат для условно сходящихся рядов.

Литература

• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Проставить интервики в рамках проекта Интервики. Добавить иллюстрации.