РЕДУКТИВНАЯ ГРУППА

линейная алгебраич. группа G, удовлетворяющая одному из следующих эквивалентных условий: 1) радикал связной компоненты единицы G⁰ группы G есть алгебраический тор, 2).унипотентный радикал группы G⁰ тривиален, 3) группа G⁰ разлагается в произведение замкнутых нормальных подгрупп Sи Т, являющихся соответственно полупростой алгебраической группой и алгебраич. тором. При этом S - коммутант группы G⁰, а Тсовпадает с радикалом группы G⁰, а также со связной компонентой единицы ее центра; конечно, любая полупростая, а также любая унипотентная подгруппа группы G⁰ содержится в S.

Линейная алгебраич. группа G наз. л и н е й н о р е д у к т и в н о й, если выполнено любое из следующих двух эквивалентных условий: а) каждое рациональное линейное представление группы G вполне приводимо, б) для каждого рационального линейного представления и любого r (G)-инвариантного вектора существует такая r(G)-инвариантная линейная функция f на W, что f(w)№0. Всякая линейно Р. г. является Р. г. Если характеристика основного поля Kравна 0, то верно и обратное. В случае char K>0 это не так - всякая связная линейно Р. г. является алгебраич. тором. Однако и в общем случае Р. г. могут быть охарактеризованы в терминах теории представлений. Линейная алгебраич. группа G наз. г е о м е т р и ч е с к и р е д у к т и в н о й (или п о л у р е д у к т и в н о й), если для каждого рационального линейного представления и любого r(G)-инвариантного вектора существует такая r(G)-инвариантная полиномиальная функция f на W, что f(w)№0. Линейная алгебраич. группа тогда и только тогда является Р. г., когда она геометрически редуктивна (см. Мамфорда гипотеза).

Для Р. г. справедлива обобщенная Гильберта теорема об инвариантах. Верно и обратное: если G - линейная алгебраич. группа над алгебраически замкнутым полем Kи при любом ее локально конечномерном рациональном представлении автоморфизмами произвольной конечно порожденной ассоциативно-коммутативной K-алгебры Ас единицей алгебра инвариантов А ^G конечно порождена, то Gесть Р. г. (см. [4]).

Каждая конечная линейная группа является Р. г., а если ее порядок не делится на char K, то и линейно

Р. г. Связные Р. г. допускают структурную теорию, во многом аналогичную структурной теории редуктивных алгебр Ли (система корней, группа Вейля и т. п., см. [2]). Эта теория распространяется и на группы вида , где G - связная Р. г., определенная над нек-рым подполем kМ K, a - группа ее k-рациональных точек (см. [3]). При этом роль борелевских подгрупп, максимальных торов, групп Вейля играют соответственно минимальные определенные над kпараболич. подгруппы, максимальные разложимые над kторы, относительные группы Вейля (см. Вейля группа). Любые две минимальные определенные над kпараболич. подгруппы группы Gсопряжены над k, т. е. при помощи элемента группы ; то же верно и для любых двух максимальных k-разложимых торов группы G.

Если G - связная Р. г., определенная над полем k, то G - разложимая группа над нек-рым сепарабельным расширением конечной степени поля k;если, кроме того, поле kбесконечно, то плотна в G в смысле топологии Зариского. Если G - Р. г. и Н - ее замкнутая подгруппа, то факторпространство G/Hаффинно тогда и только тогда, когда H - Р. г. Линейная алгебраич. группа над полем характеристики 0 редуктивна тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли является Ли редуктивной алгеброй или когда она является комплексификацией нек-рой компактной группы Ли (см. Комплексификация группы Ли).

Лит.:[1] С п р и н г е р Т., Теория инвариантов, пер. с англ., М., 1981; [2] Х а м ф р и Дж., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980; [3] Б о р е л ь А., Т и т с Ж., "Математика", 1967, т. 11, № 1, е. 43-111; № 2, с. 3-31; [4] П о п о в В. Л., "Докл. АН СССР", 1979, т. 249, № 3, с. 551 - 55.